三角形ABCにおいて、辺AB上に点D、辺BC上に点Eがあり、$AD/DB = 1/2$、$BE/EC = 2/3$である。直線DEとCAの延長線の交点をFとする。三角形BDFと三角形ABCの面積比を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺AB上に点D、辺BC上に点Eがあり、$AD/DB = 1/2$、$BE/EC = 2/3$である。直線DEとCAの延長線の交点をFとする。三角形BDFと三角形ABCの面積比を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は、メネラウスの定理と面積比の知識を使って解きます。

ステップ1：メネラウスの定理の適用

三角形ABFに直線DEを適用すると、メネラウスの定理より、

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EF} \cdot \frac{FC}{CA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{FC}{CA} = 1$

$\frac{FC}{CA} = 3$

よって、$FC = 3CA$となるから、$AF = AC + CF = AC + 3AC = 4AC$となり、$AF/AC = 4$。

ステップ2：面積比の計算

三角形BDFと三角形ABCの面積比を求める。

$\frac{\triangle BDF}{\triangle ABC} = \frac{BD}{BA} \cdot \frac{BF}{BE} \cdot \frac{BE}{BC}$ではないので注意すること．

$\frac{BD}{AB} = \frac{2}{3}$

$\frac{BE}{BC} = \frac{2}{5}$

$\frac{\triangle BDF}{\triangle ADF} = \frac{BD}{AD} = 2$

$\triangle ADF = \frac{AD}{AB} \cdot \frac{AF}{AC} \triangle ABC = \frac{1}{3} \cdot 4 \triangle ABC = \frac{4}{3} \triangle ABC$

$\triangle BDF = 2 \triangle ADF = 2 \cdot \frac{4}{3} \triangle ABC = \frac{8}{3} \triangle ABC$

したがって、

$\frac{\triangle BDF}{\triangle ABC} = \frac{8}{3}$

ステップ3：最終確認

計算ミスのチェックと答えの形式の確認を行う。

3. 最終的な答え

8:3