3つの定点O, A($\vec{a}$), B($\vec{b}$)と動点P($\vec{p}$)がある。次のベクトル方程式で表される点Pはどのような図形上にあるか。 (1) $|4\vec{p} - 3\vec{a} - \vec{b}| = 8$ (2) $(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} + \vec{b}) = 0$

1. 問題の内容

3つの定点O, A($\vec{a}$), B($\vec{b}$)と動点P($\vec{p}$)がある。次のベクトル方程式で表される点Pはどのような図形上にあるか。

(1) $|4\vec{p} - 3\vec{a} - \vec{b}| = 8$

(2) $(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} + \vec{b}) = 0$

2. 解き方の手順

(1)

$|4\vec{p} - 3\vec{a} - \vec{b}| = 8$ を変形する。

$|4(\vec{p} - \frac{3\vec{a} + \vec{b}}{4})| = 8$

$4|\vec{p} - \frac{3\vec{a} + \vec{b}}{4}| = 8$

$|\vec{p} - \frac{3\vec{a} + \vec{b}}{4}| = 2$

これは、点C ($\vec{c} = \frac{3\vec{a} + \vec{b}}{4}$)を中心とする半径2の円を表す。

(2)

$(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} + \vec{b}) = 0$

$(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - (-\vec{b})) = 0$

これは、点A($\vec{a}$)と点D($-\vec{b}$)を直径の両端とする円を表す。

3. 最終的な答え

(1) 点C ($\vec{c} = \frac{3\vec{a} + \vec{b}}{4}$)を中心とする半径2の円

(2) 点A($\vec{a}$)と点D($-\vec{b}$)を直径の両端とする円