三角形 OAB において、OA = 6, AB = 7, OB = 8 とする。三角形 OAB の内心を I とし、OI の延長と AB の交点を C とする。ベクトル $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) ベクトル $\vec{OC}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ で表せ。 (2) ベクトル $\vec{OI}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ で表せ。

1. 問題の内容

三角形 OAB において、OA = 6, AB = 7, OB = 8 とする。三角形 OAB の内心を I とし、OI の延長と AB の交点を C とする。ベクトル $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) ベクトル $\vec{OC}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ で表せ。

(2) ベクトル $\vec{OI}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ で表せ。

2. 解き方の手順

(1)

C は直線 AB 上の点なので、実数 $t$ を用いて

$\vec{OC} = (1-t) \vec{OA} + t \vec{OB} = (1-t) \vec{a} + t \vec{b}$ と表せる。

また、C は OI の延長線上にあるので、実数 $k$ を用いて

$\vec{OC} = k \vec{OI}$ と表せる。

I は三角形 OAB の内心なので、

$\vec{OI} = \frac{8 \vec{OA} + 6 \vec{OB} + 7 \vec{OO}}{6+7+8} = \frac{8 \vec{OA} + 6 \vec{OB}}{21} = \frac{8}{21} \vec{a} + \frac{6}{21} \vec{b} = \frac{8}{21} \vec{a} + \frac{2}{7} \vec{b}$

ここで、C は AB を OA:OB = 6:8 = 3:4 の比で内分するので、

$\vec{OC} = \frac{4 \vec{OA} + 3 \vec{OB}}{3+4} = \frac{4}{7} \vec{a} + \frac{3}{7} \vec{b}$

(2)

内心 I は、各頂点から対辺に引いた角の二等分線の交点である。したがって、OI は角 AOB の二等分線となる。

$\vec{OI} = k \vec{OC}$ と表せるので、(1) より

$\vec{OI} = \frac{21}{34} \vec{OC} = \frac{21}{34}(\frac{4}{7} \vec{a} + \frac{3}{7} \vec{b}) = \frac{3}{34} (4\vec{a} + 3\vec{b}) = \frac{12}{34} \vec{a} + \frac{9}{34} \vec{b} = \frac{6}{17} \vec{a} + \frac{9}{34} \vec{b}$

$\vec{OI} = \frac{8 \vec{a} + 6 \vec{b}}{21} = \frac{8}{21} \vec{a} + \frac{2}{7} \vec{b}$

$\vec{OC} = k \vec{OI}$ より

$\frac{4}{7} \vec{a} + \frac{3}{7} \vec{b} = k (\frac{8}{21} \vec{a} + \frac{6}{21} \vec{b})$

$\frac{4}{7} = k \frac{8}{21}$ より $k = \frac{4}{7} \cdot \frac{21}{8} = \frac{3}{2}$

$\frac{3}{7} = k \frac{6}{21}$ より $k = \frac{3}{7} \cdot \frac{21}{6} = \frac{3}{2}$

$\vec{OI} = \frac{2}{3} \vec{OC} = \frac{2}{3} (\frac{4}{7} \vec{a} + \frac{3}{7} \vec{b}) = \frac{8}{21} \vec{a} + \frac{2}{7} \vec{b}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OC} = \frac{4}{7} \vec{a} + \frac{3}{7} \vec{b}$

(2) $\vec{OI} = \frac{8}{21} \vec{a} + \frac{2}{7} \vec{b}$