(1) 直交座標の方程式 $(x-1)^2 + y^2 = 1$ を極座標の方程式に変換する。 (2) 極座標の方程式 $r \sin^2 \theta + \sin \theta = r$ を直交座標の方程式に変換する。

1. 問題の内容

(1) 直交座標の方程式 $(x-1)^2 + y^2 = 1$ を極座標の方程式に変換する。

(2) 極座標の方程式 $r \sin^2 \theta + \sin \theta = r$ を直交座標の方程式に変換する。

2. 解き方の手順

(1)

直交座標と極座標の関係は以下の通りである。

$x = r \cos \theta$

$y = r \sin \theta$

与えられた方程式に代入すると、

$(r \cos \theta - 1)^2 + (r \sin \theta)^2 = 1$

$r^2 \cos^2 \theta - 2r \cos \theta + 1 + r^2 \sin^2 \theta = 1$

$r^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) - 2r \cos \theta = 0$

$r^2 - 2r \cos \theta = 0$

$r(r - 2 \cos \theta) = 0$

$r=0$ は $r = 2 \cos \theta$ に含まれるので、求める極方程式は $r = 2 \cos \theta$ である。

(2)

極座標と直交座標の関係は以下の通りである。

$x = r \cos \theta$

$y = r \sin \theta$

$r^2 = x^2 + y^2$

与えられた方程式 $r \sin^2 \theta + \sin \theta = r$ の両辺に $r$ をかけると、

$r^2 \sin^2 \theta + r \sin \theta = r^2$

$(r \sin \theta)^2 + r \sin \theta = r^2$

$y^2 + y = x^2 + y^2$

$y = x^2$

3. 最終的な答え

(1) $r = 2 \cos \theta$

(2) $y = x^2$