三角形ABCにおいて、$AB=8$, $BC=10$, $CA=12$とする。三角形ABCの内接円の中心をIとする。Iを通り辺BCに平行な直線が、辺AB, 辺ACと交わる点をそれぞれP, Qとするとき、線分PQの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=8$, $BC=10$, $CA=12$とする。三角形ABCの内接円の中心をIとする。Iを通り辺BCに平行な直線が、辺AB, 辺ACと交わる点をそれぞれP, Qとするとき、線分PQの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABC$の半周の長さを$s$とする。

$s = \frac{AB+BC+CA}{2} = \frac{8+10+12}{2} = \frac{30}{2} = 15$

内接円の半径を$r$とすると、$\triangle ABC$の面積$S$は、ヘロンの公式より、

$S = \sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-CA)} = \sqrt{15(15-8)(15-10)(15-12)} = \sqrt{15 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3} = 15\sqrt{7}$

また、$S = rs$だから、$15\sqrt{7} = 15r$ より $r = \sqrt{7}$

IからBCに下ろした垂線の足をD, IからPQに下ろした垂線の足をEとする。

このとき、$ID = IE = r$である。

また、PQはBCに平行なので、$AI$と$IE$は一直線上にある。

$\triangle ABC$と$\triangle APQ$は相似であり、$PQ \parallel BC$より、

$\frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC} = \frac{PQ}{BC}$が成り立つ。

AからBCに下ろした垂線の足をHとする。

$\triangle ABH$において、$AH^2 + BH^2 = AB^2$である。

$\triangle ACH$において、$AH^2 + CH^2 = AC^2$である。

$BC = BH + CH = 10$より、$CH = 10 - BH$

$AH^2 + BH^2 = 8^2 = 64$

$AH^2 + (10-BH)^2 = 12^2 = 144$

$AH^2 + 100 - 20BH + BH^2 = 144$

$AH^2 + BH^2 = 64$より、

$64 + 100 - 20BH = 144$

$-20BH = -20$

$BH = 1$

$CH = 9$

$AH^2 = 64 - BH^2 = 64 - 1 = 63$

$AH = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$

$\triangle ABC$の面積は$\frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 3\sqrt{7} = 15\sqrt{7}$となり、ヘロンの公式の結果と一致する。

$AI$と$AH$は一直線上にあるので、$\triangle AIE \sim \triangle AID \sim \triangle AHD$

$AD = AH = 3\sqrt{7}$

$ID = \sqrt{7}$より、$AE = AH - EH = AH - 2ID = 3\sqrt{7} - 2\sqrt{7} = \sqrt{7}$

$\frac{AE}{AH} = \frac{\sqrt{7}}{3\sqrt{7}} = \frac{1}{3}$

$\frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC} = \frac{PQ}{BC} = \frac{1}{3}$

$PQ = \frac{1}{3}BC = \frac{1}{3} \cdot 10 = \frac{10}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{10}{3}$