点 O を位置ベクトルの基準とし、点 A($\vec{a}$) を定点とする。動点 P($\vec{p}$) に関する次のベクトル方程式が表す図形を求める問題です。ただし、$\vec{a} \neq \vec{0}$ とします。 (1) $\vec{a} \cdot (\vec{p} - \vec{a}) = 0$ (2) $(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (3\vec{p} + \vec{a}) = 0$ (3) $|\vec{p}| = 2|\vec{p} - \vec{a}|$

1. 問題の内容

点 O を位置ベクトルの基準とし、点 A($\vec{a}$) を定点とする。動点 P($\vec{p}$) に関する次のベクトル方程式が表す図形を求める問題です。ただし、$\vec{a} \neq \vec{0}$ とします。

(1) $\vec{a} \cdot (\vec{p} - \vec{a}) = 0$

(2) $(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (3\vec{p} + \vec{a}) = 0$

(3) $|\vec{p}| = 2|\vec{p} - \vec{a}|$

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{a} \cdot (\vec{p} - \vec{a}) = 0$ は、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{p} - \vec{a}$ が垂直であることを意味します。$\vec{p} - \vec{a}$ はベクトル $\vec{AP}$ を表します。したがって、$\vec{OA}$ と $\vec{AP}$ が垂直であるため、点 P は点 A を通り、ベクトル $\vec{a}$ に垂直な直線上にあると言えます。

(2)

$(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (3\vec{p} + \vec{a}) = 0$ を変形します。

$3|\vec{p}|^2 + \vec{p} \cdot \vec{a} - 3\vec{a} \cdot \vec{p} - |\vec{a}|^2 = 0$

$3|\vec{p}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{p} - |\vec{a}|^2 = 0$

$|\vec{p}|^2 - \frac{2}{3}\vec{a} \cdot \vec{p} - \frac{1}{3}|\vec{a}|^2 = 0$

$|\vec{p} - \frac{1}{3}\vec{a}|^2 - |\frac{1}{3}\vec{a}|^2 - \frac{1}{3}|\vec{a}|^2 = 0$

$|\vec{p} - \frac{1}{3}\vec{a}|^2 = \frac{4}{9}|\vec{a}|^2$

$|\vec{p} - \frac{1}{3}\vec{a}| = \frac{2}{3}|\vec{a}|$

これは、中心が点 $\frac{1}{3}A$ で、半径が $\frac{2}{3}|\vec{a}|$ の円を表します。

(3)

$|\vec{p}| = 2|\vec{p} - \vec{a}|$ の両辺を 2 乗します。

$|\vec{p}|^2 = 4|\vec{p} - \vec{a}|^2$

$|\vec{p}|^2 = 4(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{a})$

$|\vec{p}|^2 = 4(|\vec{p}|^2 - 2\vec{p} \cdot \vec{a} + |\vec{a}|^2)$

$|\vec{p}|^2 = 4|\vec{p}|^2 - 8\vec{p} \cdot \vec{a} + 4|\vec{a}|^2$

$3|\vec{p}|^2 - 8\vec{p} \cdot \vec{a} + 4|\vec{a}|^2 = 0$

$|\vec{p}|^2 - \frac{8}{3}\vec{p} \cdot \vec{a} + \frac{4}{3}|\vec{a}|^2 = 0$

$|\vec{p} - \frac{4}{3}\vec{a}|^2 - |\frac{4}{3}\vec{a}|^2 + \frac{4}{3}|\vec{a}|^2 = 0$

$|\vec{p} - \frac{4}{3}\vec{a}|^2 = \frac{16}{9}|\vec{a}|^2 - \frac{12}{9}|\vec{a}|^2$

$|\vec{p} - \frac{4}{3}\vec{a}|^2 = \frac{4}{9}|\vec{a}|^2$

$|\vec{p} - \frac{4}{3}\vec{a}| = \frac{2}{3}|\vec{a}|$

これは、中心が点 $\frac{4}{3}A$ で、半径が $\frac{2}{3}|\vec{a}|$ の円を表します。

3. 最終的な答え

(1) 点 A を通り、$\vec{a}$ に垂直な直線

(2) 中心が点 $\frac{1}{3}A$ で、半径が $\frac{2}{3}|\vec{a}|$ の円

(3) 中心が点 $\frac{4}{3}A$ で、半径が $\frac{2}{3}|\vec{a}|$ の円