三角形ABCにおいて、$a = 2$, $b = \sqrt{3} - 1$, $C = 120^\circ$であるとき、残りの辺の長さ$c$と角$A$, $B$の大きさを求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = 2$, $b = \sqrt{3} - 1$, $C = 120^\circ$であるとき、残りの辺の長さ$c$と角$A$, $B$の大きさを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて辺$c$の長さを求めます。余弦定理は以下の通りです。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

これに与えられた値を代入すると、

$c^2 = 2^2 + (\sqrt{3} - 1)^2 - 2 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3} - 1) \cos 120^\circ$

$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$なので、

$c^2 = 4 + (3 - 2\sqrt{3} + 1) - 4(\sqrt{3} - 1)(-\frac{1}{2})$

$c^2 = 4 + 4 - 2\sqrt{3} + 2(\sqrt{3} - 1)$

$c^2 = 8 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 2$

$c^2 = 6$

よって、$c = \sqrt{6}$

(2) 正弦定理を用いて角Aの大きさを求めます。正弦定理は以下の通りです。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

これに与えられた値を代入すると、

$\frac{2}{\sin A} = \frac{\sqrt{6}}{\sin 120^\circ}$

$\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$\frac{2}{\sin A} = \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\sin A = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}}$

$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

よって、$A = 45^\circ$

(3) 三角形の内角の和は$180^\circ$なので、角$B$の大きさは以下の通りです。

$B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 45^\circ - 120^\circ = 15^\circ$

3. 最終的な答え

$c = \sqrt{6}$

$A = 45^\circ$

$B = 15^\circ$