(1) 連立方程式 $ \begin{cases} x - 2y = 1 \\ x^2 - 3xy + 5y^2 = 5 \end{cases} $ を解く。 (2) 不等式 $x(x-4) < 12$ を解く。

1. 問題の内容

(1) 連立方程式

$$

\begin{cases}

x - 2y = 1 \\

x^2 - 3xy + 5y^2 = 5

\end{cases}

$$

を解く。

(2) 不等式 $x(x-4) < 12$ を解く。

2. 解き方の手順

(1)

まず、1つ目の式から $x$ を $y$ で表す。

$x = 2y + 1$

これを2つ目の式に代入する。

$(2y + 1)^2 - 3(2y + 1)y + 5y^2 = 5$

展開して整理する。

$4y^2 + 4y + 1 - 6y^2 - 3y + 5y^2 = 5$

$3y^2 + y - 4 = 0$

因数分解する。

$(3y + 4)(y - 1) = 0$

したがって、$y = 1, -\frac{4}{3}$

$y = 1$ のとき、$x = 2(1) + 1 = 3$

$y = -\frac{4}{3}$ のとき、$x = 2(-\frac{4}{3}) + 1 = -\frac{8}{3} + 1 = -\frac{5}{3}$

よって、解は $(x, y) = (3, 1), (-\frac{5}{3}, -\frac{4}{3})$

(2)

不等式を変形する。

$x(x - 4) < 12$

$x^2 - 4x < 12$

$x^2 - 4x - 12 < 0$

$(x - 6)(x + 2) < 0$

したがって、$-2 < x < 6$

3. 最終的な答え

(1) $(x, y) = (3, 1), (-\frac{5}{3}, -\frac{4}{3})$

(2) $-2 < x < 6$