長方形ABCDの周上を点PがBからCを通ってDまで毎秒1cmの速さで動く。点PがBを出発してx秒後の三角形ABPの面積を$y \mathrm{cm}^2$とする。 (1) $0 \le x \le 8$のとき、$y$を$x$の式で表す。 (2) $x=10$のとき、$y$の値を求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDの周上を点PがBからCを通ってDまで毎秒1cmの速さで動く。点PがBを出発してx秒後の三角形ABPの面積を$y \mathrm{cm}^2$とする。

(1) $0 \le x \le 8$のとき、$y$を$x$の式で表す。

(2) $x=10$のとき、$y$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Pが辺BC上にあるとき、$0 \le x \le 8$である。このとき、BP = $x$ cmであり、AB = 4 cmである。

三角形ABPの面積は、底辺をBP、高さをABと考えると、

$y = \frac{1}{2} \times BP \times AB = \frac{1}{2} \times x \times 4 = 2x$

したがって、$y = 2x$である。

(2) $x=10$のとき、点Pは辺CD上にある。

BCの長さは8cmなので、点PはCを通り過ぎている。CPの長さは $10 - 8 = 2$ cm。よって、DPの長さは $8 - 2 = 6$ cm。

三角形ABPの面積は、台形ABCDの面積から、三角形ADPと三角形BCPの面積を引くことで求められる。

台形ABCDの面積 = $\frac{(8+6) \times 4}{2} = 28$。

三角形ADPの面積 = $\frac{6 \times 4}{2} = 12$。

三角形BCPの面積 = $\frac{2 \times 4}{2} = 4$。

$y = \text{長方形ABCDの面積} - \text{三角形ADPの面積}$

長方形ABCDの面積 = $8 \times 4 = 32$。

三角形ADPの面積 = $\frac{(8-x) \times 4}{2} = \frac{(8-10) \times 4}{2} = -4$はありえないので、$y$ の値を別の方法で考える。

点PがCD上にあるとき、三角形ABPの面積は、ABを底辺とすると、高さはBCの長さに等しく、高さは4cm。

x=10の場合、点PはDから2cm離れた位置にあり、三角形ABPの高さは4cm。三角形ABPの面積は、底辺AB=4cm、高さCD=8cmと考えると、三角形の面積は変化しない。

底辺をABとすると、高さはBC。

よって$y = \frac{1}{2} \times 4 \times 8 = 16$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x$

(2) $y = 16$