長方形ABCDにおいて、$AB = 8\ cm$, $BC = 16\ cm$である。点Pは辺AB上を毎秒1cmの速さでAからBへ、点Qは辺BC上を毎秒2cmの速さでBからCへ移動する。PとQが同時に出発してからt秒後の三角形PBQの面積をtを用いて表す。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、$AB = 8\ cm$, $BC = 16\ cm$である。点Pは辺AB上を毎秒1cmの速さでAからBへ、点Qは辺BC上を毎秒2cmの速さでBからCへ移動する。PとQが同時に出発してからt秒後の三角形PBQの面積をtを用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、t秒後のAPの長さを求めます。点Pは毎秒1cmでAから移動するので、APの長さは$t$ cmです。

したがって、$PB = AB - AP = 8 - t$ (cm) となります。

次に、t秒後のBQの長さを求めます。点Qは毎秒2cmでBから移動するので、BQの長さは$2t$ cmです。

三角形PBQは直角三角形なので、面積は

$\frac{1}{2} \times PB \times BQ$

で求められます。

これらを代入して面積を計算すると、

$\frac{1}{2} \times (8-t) \times 2t = (8-t)t = 8t - t^2$

ただし、$0 \leq t \leq 8$ かつ $0 \leq 2t \leq 16$を満たす必要があります。

$0 \leq t \leq 8$ と $0 \leq t \leq 8$ は同じなので、$0 \leq t \leq 8$ が条件となります。

3. 最終的な答え

$8t - t^2 \ (0 \leq t \leq 8)$