三角形ABCが円に内接しており、辺BCの長さ$a=4$、角Aが$45^\circ$、角Bが$60^\circ$、角Cが$75^\circ$であることがわかっています。このとき、三角形ABCの外接円の直径を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCが円に内接しており、辺BCの長さ$a=4$、角Aが$45^\circ$、角Bが$60^\circ$、角Cが$75^\circ$であることがわかっています。このとき、三角形ABCの外接円の直径を求める問題です。

2. 解き方の手順

正弦定理を利用して外接円の半径を求め、その半径から直径を計算します。

まず、正弦定理は以下の通りです。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

ここで、$R$は外接円の半径です。

問題文から、$a=4$、$A=45^\circ$ であることがわかっていますので、正弦定理に代入します。

$\frac{4}{\sin 45^\circ} = 2R$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$\frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R$

$\frac{8}{\sqrt{2}} = 2R$

$R = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

外接円の直径$D$は半径$R$の2倍なので、

$D = 2R = 2 \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$4\sqrt{2}$