次の三角形ABCの面積を求めよ。三角形ABCは、直線 $y = -\frac{1}{2}x + 1$、直線 $y = -x$、直線 $x = 2$ によって囲まれています。

1. 問題の内容

次の三角形ABCの面積を求めよ。三角形ABCは、直線 $y = -\frac{1}{2}x + 1$、直線 $y = -x$、直線 $x = 2$ によって囲まれています。

2. 解き方の手順

まず、三角形の頂点A, B, Cの座標を求めます。

* 点Aは、直線 $y = -\frac{1}{2}x + 1$ と直線 $y = -x$ の交点です。この二つの式を連立させて解きます。

$y = -\frac{1}{2}x + 1$

$y = -x$

代入して、

$-x = -\frac{1}{2}x + 1$

$\frac{1}{2}x = 1$

$x = 2$

$y = -2$

よって、Aの座標は (2, -2) です。

* 点Bは、直線 $y = -\frac{1}{2}x + 1$ と直線 $x = 2$ の交点です。$x = 2$ を $y = -\frac{1}{2}x + 1$ に代入して、

$y = -\frac{1}{2}(2) + 1 = -1 + 1 = 0$

よって、Bの座標は (2, 0) です。

* 点Cは、直線 $y = -x$ と直線 $x = 2$ の交点です。$x = 2$ を $y = -x$ に代入して、

$y = -2$

よって、Cの座標は (2, -2) です。

次に、三角形の底辺と高さを求めます。

* 底辺BCは、x座標が同じなので、y座標の差で求められます。

BC = $|0 - (-2)| = 2$

* 高さは、点Aのx座標から直線x=2までの距離です。点Aは(2,-2)なので、高さは0です。

しかし、上記の計算でA(2, -2) と C(2, -2) が同じ座標になってしまっています。これは計算ミスです。

再度、点Aの座標を計算します。

$y = -\frac{1}{2}x + 1$

$y = -x$

代入して、

$-x = -\frac{1}{2}x + 1$

$-\frac{1}{2}x = 1$

$\frac{1}{2}x = 1$ ではなく $-\frac{1}{2}x = 1$ なので、$x = -2$ です。

$y = -(-2) = 2$

よって、Aの座標は (-2, 2) です。

次に、三角形の底辺と高さを求めます。

底辺BCは直線 $x=2$ 上にあり、B(2,0)、C(2,-2)なので、

底辺BC = $|0 - (-2)| = 2$

点A(-2,2)から直線 $x=2$ への距離が高さになります。

高さ = $|-2 - 2| = 4$

最後に、三角形の面積を計算します。

面積 = $\frac{1}{2} \times 底辺 \times 高さ = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$

3. 最終的な答え

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