問題3：三角形ABCにおいて、$b = \sqrt{2}, c = \sqrt{3} - 1, A = 135^\circ$ のとき、残りの辺の長さ $a$ と角 $B, C$ の大きさを求める。 問題4：三角形ABCにおいて、$a = 3, b = 2, c = \sqrt{10}$ のとき、面積 $S$ を求める。 問題5：三角形ABCにおいて、$AB=4, AC=3, A=60^\circ$のとき、角Aの二等分線と辺BCの交点をDとするとき、ADの長さを求める。

1. 問題の内容

問題3：三角形ABCにおいて、$b = \sqrt{2}, c = \sqrt{3} - 1, A = 135^\circ$ のとき、残りの辺の長さ $a$ と角 $B, C$ の大きさを求める。

問題4：三角形ABCにおいて、$a = 3, b = 2, c = \sqrt{10}$ のとき、面積 $S$ を求める。

問題5：三角形ABCにおいて、$AB=4, AC=3, A=60^\circ$のとき、角Aの二等分線と辺BCの交点をDとするとき、ADの長さを求める。

2. 解き方の手順

問題3：

余弦定理を用いて $a$ を求める。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$a^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3}-1)^2 - 2(\sqrt{2})(\sqrt{3}-1)\cos 135^\circ$

$a^2 = 2 + 3 - 2\sqrt{3} + 1 - 2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(-\frac{1}{\sqrt{2}})$

$a^2 = 6 - 2\sqrt{3} + 2(\sqrt{3} - 1)$

$a^2 = 6 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 2$

$a^2 = 4$

$a = 2$

正弦定理を用いて角 $B$ を求める。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\frac{2}{\sin 135^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{\sin B}$

$\sin B = \frac{\sqrt{2}\sin 135^\circ}{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{2} = \frac{1}{2}$

$B = 30^\circ$

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 135^\circ - 30^\circ = 15^\circ$

問題4：

ヘロンの公式を用いる。

$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3+2+\sqrt{10}}{2} = \frac{5+\sqrt{10}}{2}$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{5+\sqrt{10}}{2} (\frac{5+\sqrt{10}}{2} - 3)(\frac{5+\sqrt{10}}{2} - 2)(\frac{5+\sqrt{10}}{2} - \sqrt{10})}$

$S = \sqrt{\frac{5+\sqrt{10}}{2} (\frac{-1+\sqrt{10}}{2}) (\frac{1+\sqrt{10}}{2}) (\frac{5-\sqrt{10}}{2})}$

$S = \sqrt{\frac{(25-10)(10-1)}{16}} = \sqrt{\frac{15 \cdot 9}{16}} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$

問題5：

角の二等分線の定理より、

$BD : DC = AB : AC = 4 : 3$

$BC = BD + DC$ より、$BD = \frac{4}{7}BC$, $DC = \frac{3}{7}BC$

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos A = 4^2 + 3^2 - 2(4)(3)\cos 60^\circ = 16 + 9 - 24 \cdot \frac{1}{2} = 25 - 12 = 13$

$BC = \sqrt{13}$

$BD = \frac{4\sqrt{13}}{7}$, $DC = \frac{3\sqrt{13}}{7}$

三角形ABDにおいて余弦定理を用いる。

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2AB \cdot BD \cos B$

三角形ABCにおいて正弦定理より

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$

$\frac{4}{\sin C} = \frac{3}{\sin B} = \frac{\sqrt{13}}{\sin 60^\circ}$

$\sin B = \frac{3 \sin 60^\circ}{\sqrt{13}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2\sqrt{13}}$

$\cos B = \sqrt{1 - (\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{13}})^2} = \sqrt{1 - \frac{27}{52}} = \sqrt{\frac{25}{52}} = \frac{5}{2\sqrt{13}}$

$\angle BAD = \angle CAD = 30^\circ$

三角形ABDにおいて余弦定理を用いる。

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB \cdot AD \cos 30^\circ$

$(\frac{4\sqrt{13}}{7})^2 = 4^2 + AD^2 - 2 \cdot 4 \cdot AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{16 \cdot 13}{49} = 16 + AD^2 - 4\sqrt{3} AD$

$\frac{208}{49} = 16 + AD^2 - 4\sqrt{3} AD$

$AD^2 - 4\sqrt{3}AD + 16 - \frac{208}{49} = 0$

$AD^2 - 4\sqrt{3}AD + \frac{784 - 208}{49} = 0$

$AD^2 - 4\sqrt{3}AD + \frac{576}{49} = 0$

$AD = \frac{4\sqrt{3} \pm \sqrt{48 - \frac{4 \cdot 576}{49}}}{2} = 2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 - \frac{576}{49}} = 2\sqrt{3} \pm \sqrt{\frac{588 - 576}{49}} = 2\sqrt{3} \pm \sqrt{\frac{12}{49}} = 2\sqrt{3} \pm \frac{2\sqrt{3}}{7}$

$AD = 2\sqrt{3} + \frac{2\sqrt{3}}{7} = \frac{16\sqrt{3}}{7}$ または $AD = 2\sqrt{3} - \frac{2\sqrt{3}}{7} = \frac{12\sqrt{3}}{7}$

$AD < AB$より$AD = \frac{12\sqrt{3}}{7}$

3. 最終的な答え

問題3：$a = 2, B = 30^\circ, C = 15^\circ$

問題4：$S = \frac{3\sqrt{15}}{4}$

問題5：$AD = \frac{12\sqrt{3}}{7}$