三角形ABCの面積を求める問題です。三角形の各頂点は、以下の3つの直線の交点として与えられています。 * $x - 2y = -5$ * $2x + 5y = -1$ * $4x + y = 7$

1. 問題の内容

三角形ABCの面積を求める問題です。三角形の各頂点は、以下の3つの直線の交点として与えられています。

* $x - 2y = -5$

* $2x + 5y = -1$

* $4x + y = 7$

2. 解き方の手順

三角形の面積を求めるために、まず3つの頂点A, B, Cの座標を求めます。

A: $x - 2y = -5$ と $2x + 5y = -1$ の交点

B: $x - 2y = -5$ と $4x + y = 7$ の交点

C: $2x + 5y = -1$ と $4x + y = 7$ の交点

* **頂点Aの座標を計算する:**

連立方程式を解きます。

$x - 2y = -5$ (1)

$2x + 5y = -1$ (2)

(1) * 2 より $2x - 4y = -10$ (3)

(2) - (3) より $9y = 9$, したがって $y = 1$

(1)に代入して $x - 2(1) = -5$, したがって $x = -3$

よって、Aの座標は $(-3, 1)$

* **頂点Bの座標を計算する:**

連立方程式を解きます。

$x - 2y = -5$ (4)

$4x + y = 7$ (5)

(5) * 2 より $8x + 2y = 14$ (6)

(4) + (6) より $9x = 9$, したがって $x = 1$

(5)に代入して $4(1) + y = 7$, したがって $y = 3$

よって、Bの座標は $(1, 3)$

* **頂点Cの座標を計算する:**

連立方程式を解きます。

$2x + 5y = -1$ (7)

$4x + y = 7$ (8)

(8) * 5 より $20x + 5y = 35$ (9)

(9) - (7) より $18x = 36$, したがって $x = 2$

(8)に代入して $4(2) + y = 7$, したがって $y = -1$

よって、Cの座標は $(2, -1)$

3点の座標がわかったので、三角形の面積を求めることができます。今回は、以下の公式を利用します。

3点の座標 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ を持つ三角形の面積は、

$S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$

今回は、A $(-3, 1)$, B $(1, 3)$, C $(2, -1)$ なので、

$S = \frac{1}{2} |(-3)(3 - (-1)) + (1)(-1 - 1) + (2)(1 - 3)|$

$S = \frac{1}{2} |(-3)(4) + (1)(-2) + (2)(-2)|$

$S = \frac{1}{2} |-12 - 2 - 4|$

$S = \frac{1}{2} |-18|$

$S = \frac{1}{2} (18)$

$S = 9$

3. 最終的な答え

三角形ABCの面積は9です。