3つの直線 $4x + y = -2$, $x - y = 2$, $2x + 3y = 4$ で囲まれた三角形ABCの面積を求める。

1. 問題の内容

3つの直線 $4x + y = -2$, $x - y = 2$, $2x + 3y = 4$ で囲まれた三角形ABCの面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、3つの直線の交点A, B, Cの座標を求める。

A: $4x + y = -2$ と $x - y = 2$ の交点

2つの式を足し合わせると、

$5x = 0$

$x = 0$

$y = x - 2 = -2$

よって、A(0, -2)

B: $x - y = 2$ と $2x + 3y = 4$ の交点

$x = y + 2$を $2x + 3y = 4$ に代入すると、

$2(y + 2) + 3y = 4$

$2y + 4 + 3y = 4$

$5y = 0$

$y = 0$

$x = y + 2 = 2$

よって、B(2, 0)

C: $4x + y = -2$ と $2x + 3y = 4$ の交点

$4x + y = -2$ より $y = -4x - 2$

$2x + 3y = 4$ に代入すると、

$2x + 3(-4x - 2) = 4$

$2x - 12x - 6 = 4$

$-10x = 10$

$x = -1$

$y = -4x - 2 = -4(-1) - 2 = 4 - 2 = 2$

よって、C(-1, 2)

次に、三角形ABCの面積を求める。

三角形の面積は、座標を使って計算することができる。

A($x_1, y_1$), B($x_2, y_2$), C($x_3, y_3$)のとき、三角形の面積Sは、

$S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$

A(0, -2), B(2, 0), C(-1, 2)を代入すると、

$S = \frac{1}{2} |0(0 - 2) + 2(2 - (-2)) + (-1)(-2 - 0)|$

$S = \frac{1}{2} |0 + 2(4) + (-1)(-2)|$

$S = \frac{1}{2} |0 + 8 + 2|$

$S = \frac{1}{2} |10|$

$S = 5$

3. 最終的な答え

三角形ABCの面積は5。