四角形ABCDにおいて、辺ABと対角線BDを隣り合う2辺とする平行四辺形ABDEと、辺BCと対角線BDを隣り合う2辺とする平行四辺形DBCFを作る。 (1) 四角形ACFEが平行四辺形であることを証明する。 (2) 平行四辺形ACFEがひし形、長方形になるのは、四角形ABCDの対角線AC, BDの間にどのような関係が成り立つときか、それぞれ関係を表す式を答える。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、辺ABと対角線BDを隣り合う2辺とする平行四辺形ABDEと、辺BCと対角線BDを隣り合う2辺とする平行四辺形DBCFを作る。

(1) 四角形ACFEが平行四辺形であることを証明する。

(2) 平行四辺形ACFEがひし形、長方形になるのは、四角形ABCDの対角線AC, BDの間にどのような関係が成り立つときか、それぞれ関係を表す式を答える。

2. 解き方の手順

(1) 四角形ACFEが平行四辺形であることの証明

平行四辺形の性質より、

$AE = BD$ かつ $AE \parallel BD$

$CF = BD$ かつ $CF \parallel BD$

したがって、

$AE = CF$ かつ $AE \parallel CF$

2組の対辺がそれぞれ等しく、かつ平行であるので、四角形ACFEは平行四辺形である。

(2)

ア. 四角形ACFEがひし形になるのは、隣り合う辺が等しいときである。すなわち、$AC = AE$となるとき。$AE = BD$ であるから、$AC=BD$となるとき、四角形ACFEはひし形になる。

イ. 四角形ACFEが長方形になるのは、内角が全て直角のときである。すなわち、$∠EAC = 90^{\circ}$となるとき。平行四辺形ACFEにおいて、$AC$と$AE$が垂直になるとき、$ACFE$は長方形になる。

$AE \parallel BD$より、$AC \perp BD$のとき、四角形ACFEは長方形になる。

3. 最終的な答え

(1) 四角形ACFEは平行四辺形である (証明完了)

(2)

ア. ひし形: $AC = BD$

イ. 長方形: $AC \perp BD$