## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

次の図において、三角形ABCの面積を求めなさい。

(1) 直線 $l$ の式は $y=x+2$ 、直線 $m$ の式は $y=-3x+6$ である。点Aの座標は$(1,3)$である。

(2) 直線 $l$ の式は $y=\frac{1}{2}x+1$ 、直線 $m$ の式は $y=-2x+11$ である。

(3) 直線 $l$ の式は $y=x-5$ 、直線 $m$ の式は $y=-\frac{3}{2}x+5$ である。

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2. 解き方の手順

(1)

1. 点Bは直線 $l$ と $y$ 軸の交点である。$y=x+2$ に $x=0$ を代入すると $y=2$ となるので、点Bの座標は $(0,2)$である。

2. 点Cは直線 $m$ と $x$ 軸の交点である。$y=-3x+6$ に $y=0$ を代入すると $0=-3x+6$ より $x=2$ となるので、点Cの座標は $(2,0)$である。

3. 三角形ABCの面積は、点A(1,3), B(0,2), C(2,0)を用いて、座標から三角形の面積を計算する公式を用いる。

$$S = \frac{1}{2} |(x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B))|$$

$$S = \frac{1}{2} |(1(2-0) + 0(0-3) + 2(3-2))|$$

$$S = \frac{1}{2} |(2 + 0 + 2)| = \frac{1}{2}|4| = 2$$

(2)

1. 点Aは直線 $l$ と $y$ 軸の交点である。$y=\frac{1}{2}x+1$ に $x=0$ を代入すると $y=1$ となるので、点Aの座標は $(0,1)$である。

2. 点Bは直線 $l$ と $x$ 軸の交点である。$y=\frac{1}{2}x+1$ に $y=0$ を代入すると $0=\frac{1}{2}x+1$ より $x=-2$ となるので、点Bの座標は $(-2,0)$である。

3. 点Cは直線 $m$ と $x$ 軸の交点である。$y=-2x+11$ に $y=0$ を代入すると $0=-2x+11$ より $x=\frac{11}{2}$ となるので、点Cの座標は $(\frac{11}{2},0)$である。

4. 三角形ABCの面積は、点A(0,1), B(-2,0), C(11/2,0)を用いて、

底辺をBCと考えると、$BC = \frac{11}{2} - (-2) = \frac{11}{2} + 2 = \frac{15}{2}$

高さは点Aのy座標なので、$h=1$

$$S = \frac{1}{2} \times \frac{15}{2} \times 1 = \frac{15}{4}$$

(3)

1. 点Aは直線 $l$ と $x$ 軸の交点である。$y=x-5$ に $y=0$ を代入すると $0=x-5$ より $x=5$ となるので、点Aの座標は $(5,0)$である。

2. 点Bは直線 $m$ と $y$ 軸の交点である。$y=-\frac{3}{2}x+5$ に $x=0$ を代入すると $y=5$ となるので、点Bの座標は $(0,5)$である。

3. 点Cは直線 $l$ と $m$ の交点である。

$y=x-5$と$y=-\frac{3}{2}x+5$より、$x-5 = -\frac{3}{2}x+5$

$\frac{5}{2}x = 10$

$x=4$

$y=4-5 = -1$

点Cの座標は $(4,-1)$である。

4. 三角形ABCの面積は、点A(5,0), B(0,5), C(4,-1)を用いて、座標から三角形の面積を計算する公式を用いる。

$$S = \frac{1}{2} |(x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B))|$$

$$S = \frac{1}{2} |(5(5 - (-1)) + 0(-1-0) + 4(0-5))|$$

$$S = \frac{1}{2} |(5(6) + 0(-1) + 4(-5))| = \frac{1}{2} |(30 + 0 - 20)| = \frac{1}{2}|10| = 5$$

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3. 最終的な答え

(1) 2

(2) $\frac{15}{4}$

(3) 5