3つの直線 $y = -\frac{1}{4}x + 2$, $y = \frac{1}{2}x - 1$, $y = x - 1$で囲まれた三角形ABCの面積を求めよ。

1. 問題の内容

3つの直線 $y = -\frac{1}{4}x + 2$, $y = \frac{1}{2}x - 1$, $y = x - 1$で囲まれた三角形ABCの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

三角形の面積を求めるためには、まず3つの直線の交点A, B, Cの座標を求める必要があります。

A: $y = -\frac{1}{4}x + 2$と $y = \frac{1}{2}x - 1$の交点

$-\frac{1}{4}x + 2 = \frac{1}{2}x - 1$

両辺に4をかけて

$-x + 8 = 2x - 4$

$3x = 12$

$x = 4$

$y = \frac{1}{2}(4) - 1 = 2 - 1 = 1$

Aの座標は(4, 1)

B: $y = -\frac{1}{4}x + 2$と $y = x - 1$の交点

$-\frac{1}{4}x + 2 = x - 1$

両辺に4をかけて

$-x + 8 = 4x - 4$

$5x = 12$

$x = \frac{12}{5}$

$y = \frac{12}{5} - 1 = \frac{7}{5}$

Bの座標は($\frac{12}{5}$, $\frac{7}{5}$)

C: $y = \frac{1}{2}x - 1$と $y = x - 1$の交点

$\frac{1}{2}x - 1 = x - 1$

$\frac{1}{2}x = x$

$x = 0$

$y = 0 - 1 = -1$

Cの座標は(0, -1)

次に、三角形の面積を求めます。ここでは、座標平面上の三角形の面積を求める公式を利用します。A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)としたとき、三角形の面積Sは、

$S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$

A(4, 1), B($\frac{12}{5}$, $\frac{7}{5}$), C(0, -1)を代入して、

$S = \frac{1}{2} |4(\frac{7}{5} - (-1)) + \frac{12}{5}(-1 - 1) + 0(1 - \frac{7}{5})|$

$S = \frac{1}{2} |4(\frac{12}{5}) + \frac{12}{5}(-2)|$

$S = \frac{1}{2} |\frac{48}{5} - \frac{24}{5}|$

$S = \frac{1}{2} |\frac{24}{5}|$

$S = \frac{12}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{12}{5}$