図に示された直線 $l$ と直線 $m$ の式が与えられている。それぞれの図において、三角形ABCの面積を求めよ。 (1) 直線 $l: y = x + 2$ と直線 $m: y = -3x + 6$ 、点Aの座標が $(1,3)$。 (2) 直線 $l: y = \frac{1}{2}x + 1$ と直線 $m: y = -2x + 11$。 (3) 直線 $l: y = x - 5$ と直線 $m: y = -\frac{3}{2}x + 5$。

1. 問題の内容

図に示された直線 $l$ と直線 $m$ の式が与えられている。それぞれの図において、三角形ABCの面積を求めよ。

(1) 直線 $l: y = x + 2$ と直線 $m: y = -3x + 6$ 、点Aの座標が $(1,3)$。

(2) 直線 $l: y = \frac{1}{2}x + 1$ と直線 $m: y = -2x + 11$。

(3) 直線 $l: y = x - 5$ と直線 $m: y = -\frac{3}{2}x + 5$。

2. 解き方の手順

三角形ABCの面積を求めるには、それぞれの頂点の座標を特定し、それらを利用して面積を計算する必要がある。

(1)

まず、点Bと点Cの座標を求める。

点Bは直線 $l$ と $m$ の交点なので、連立方程式を解く。

$y = x + 2$

$y = -3x + 6$

これを解くと、

$x + 2 = -3x + 6$

$4x = 4$

$x = 1$

$y = 1 + 2 = 3$

したがって、点Bの座標は $(1, 3)$。しかし、点Aの座標も$(1, 3)$と与えられているため、これは問題の設定がおかしい。直線$l$と$m$の交点が点Aと等しくなる。したがって、この問題では三角形は作れないので、面積は0である。

(2)

点Bは直線 $l$ の $y$ 切片なので、$x = 0$ を代入すると $y = 1$。したがって点Bの座標は $(0, 1)$。

点Cは直線 $m$ の $x$ 切片なので、$y = 0$ を代入すると $0 = -2x + 11$。よって、$x = \frac{11}{2}$。したがって点Cの座標は $(\frac{11}{2}, 0)$。

点Aは直線 $l$ と $m$ の交点なので、連立方程式を解く。

$y = \frac{1}{2}x + 1$

$y = -2x + 11$

これを解くと、

$\frac{1}{2}x + 1 = -2x + 11$

$\frac{5}{2}x = 10$

$x = 4$

$y = \frac{1}{2}(4) + 1 = 3$

したがって、点Aの座標は $(4, 3)$。

三角形ABCの面積は、点B$(0, 1)$, 点C$(\frac{11}{2}, 0)$, 点A$(4, 3)$を使って計算できる。

座標を用いて三角形の面積を求める公式（靴ひも公式または行列式を使う方法）を使う。

$S = \frac{1}{2} |(0 \cdot 0 + \frac{11}{2} \cdot 3 + 4 \cdot 1) - (1 \cdot \frac{11}{2} + 0 \cdot 4 + 3 \cdot 0)|$

$S = \frac{1}{2} |(\frac{33}{2} + 4) - (\frac{11}{2})|$

$S = \frac{1}{2} |\frac{33}{2} + 4 - \frac{11}{2}|$

$S = \frac{1}{2} |\frac{22}{2} + 4|$

$S = \frac{1}{2} |11 + 4|$

$S = \frac{1}{2} |15|$

$S = \frac{15}{2}$

(3)

点Bは直線 $l$ の $y$ 切片なので、$x = 0$ を代入すると $y = -5$。したがって点Bの座標は $(0, -5)$。

点Cは直線 $m$ の $y$ 切片なので、$x = 0$ を代入すると $y = 5$。したがって点Cの座標は $(0, 5)$。

点Aは直線 $l$ と $m$ の交点なので、連立方程式を解く。

$y = x - 5$

$y = -\frac{3}{2}x + 5$

これを解くと、

$x - 5 = -\frac{3}{2}x + 5$

$\frac{5}{2}x = 10$

$x = 4$

$y = 4 - 5 = -1$

したがって、点Aの座標は $(4, -1)$。

三角形ABCの面積は、点B$(0, -5)$, 点C$(0, 5)$, 点A$(4, -1)$を使って計算できる。

点BとCがy軸上にあるので、BCを底辺とすると高さはAのx座標になる。

BCの長さは、$5 - (-5) = 10$

高さは $|4| = 4$

面積は$\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 = 20$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $\frac{15}{2}$

(3) 20