与えられた分数 $\frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ の分母を有理化する問題です。

1. 問題の内容

与えられた分数 $\frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ の分母を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}$を$(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}$と考え、$(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3}$を分母分子に掛けます。

$\frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{1}{(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}} \cdot \frac{(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3}}$

$= \frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2}$

$= \frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{2} + 2 - 3}$

$= \frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

次に、分母の有理化のため、$\sqrt{2}$を分母分子に掛けます。

$\frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}$

$= \frac{\sqrt{2} + 2 - \sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{2 + \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$