(1) $x + 2y + 12 = 0$ のとき、$xy$ の最大値を求めよ。 (2) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y = 4$ のとき、$x$ のとりうる値の範囲を求めよ。また、$x^2 + y^2$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $x + 2y + 12 = 0$ のとき、$xy$ の最大値を求めよ。

(2) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y = 4$ のとき、$x$ のとりうる値の範囲を求めよ。また、$x^2 + y^2$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$x + 2y + 12 = 0$ より、$x = -2y - 12$。

$xy = (-2y - 12)y = -2y^2 - 12y = -2(y^2 + 6y) = -2(y^2 + 6y + 9 - 9) = -2((y + 3)^2 - 9) = -2(y + 3)^2 + 18$。

$xy$ は $y = -3$ のとき最大値 $18$ をとる。

このとき、$x = -2(-3) - 12 = 6 - 12 = -6$。

(2)

$x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y = 4$ より、$y = 4 - x$ なので、$4 - x \geq 0$。

したがって、$x \leq 4$。

$x \geq 0$ とあわせて、$0 \leq x \leq 4$。

$x^2 + y^2 = x^2 + (4 - x)^2 = x^2 + 16 - 8x + x^2 = 2x^2 - 8x + 16 = 2(x^2 - 4x) + 16 = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 16 = 2((x - 2)^2 - 4) + 16 = 2(x - 2)^2 - 8 + 16 = 2(x - 2)^2 + 8$。

$0 \leq x \leq 4$ において、$x = 2$ のとき最小値 $8$ をとる。

$x = 0$ または $x = 4$ のとき最大値 $2(0 - 2)^2 + 8 = 2(4) + 8 = 8 + 8 = 16$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) $xy$ の最大値は $18$。

(2) $x$ のとりうる値の範囲は $0 \leq x \leq 4$。

$x^2 + y^2$ の最大値は $16$、最小値は $8$。