2つの2次不等式 $x^2 - 4x - 3 \le 0$ ...① $x^2 - ax - 2a^2 \le 0$ ...② について、①の解を求め、①の解がすべて②の解に含まれるような最小の整数 $a$ の値を求める問題です。ただし、$a$ は正の定数です。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

2つの2次不等式

$x^2 - 4x - 3 \le 0$ ...①

$x^2 - ax - 2a^2 \le 0$ ...②

について、①の解を求め、①の解がすべて②の解に含まれるような最小の整数 $a$ の値を求める問題です。ただし、$a$ は正の定数です。

2. 解き方の手順

(1) 不等式① $x^2 - 4x - 3 \le 0$ の解を求めます。

まず、$x^2 - 4x - 3 = 0$ の解を求めます。解の公式より、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$

したがって、$x^2 - 4x - 3 \le 0$ の解は、

$2 - \sqrt{7} \le x \le 2 + \sqrt{7}$

(2) 不等式② $x^2 - ax - 2a^2 \le 0$ を解きます。

$x^2 - ax - 2a^2 = (x - 2a)(x + a) \le 0$

$a$ は正の定数であるから、$-a < 2a$ となるので、

$-a \le x \le 2a$

(3) 不等式①の解がすべて不等式②の解に含まれる条件を考えます。

$2 - \sqrt{7} \le x \le 2 + \sqrt{7}$ が $-a \le x \le 2a$ に含まれるためには、以下の2つの不等式が成り立つ必要があります。

$-a \le 2 - \sqrt{7}$

$2 + \sqrt{7} \le 2a$

つまり

$a \ge \sqrt{7} - 2$

$a \ge 1 + \frac{\sqrt{7}}{2}$

ここで、$\sqrt{7} \approx 2.646$ であるから

$a \ge 2.646 - 2 = 0.646$

$a \ge 1 + \frac{2.646}{2} = 1 + 1.323 = 2.323$

したがって、$a \ge 2.323$ である必要があります。問題文より、$a$ は不等式を満たす最小の整数であるので、$a=3$となります。

3. 最終的な答え

(1) 不等式①の解は、$2 - \sqrt{7} \le x \le 2 + \sqrt{7}$

ヒ = 2

フ = 7

(2) 不等式①の解がすべて不等式②の解に含まれるような最小の整数 $a$ の値は、3

ヘ = 3