関数 $y = x^{\sin x}$ ($x > 0$) の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^{\sin x}$ ($x > 0$) の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. 両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \ln (x^{\sin x})$

$\ln y = \sin x \cdot \ln x$

2. 両辺を $x$ で微分します。左辺は合成関数の微分, 右辺は積の微分を用います。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = (\sin x)' \ln x + \sin x (\ln x)'$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$

3. $\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$\frac{dy}{dx} = y \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$

4. $y = x^{\sin x}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$