関数 $y = (2\cos x - 3\sin x)\sin x$ の $0 \le x \le \frac{\pi}{4}$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = (2\cos x - 3\sin x)\sin x$ の $0 \le x \le \frac{\pi}{4}$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数を整理します。

$y = 2\cos x \sin x - 3\sin^2 x$

三角関数の倍角の公式を用いて変形します。

$\sin 2x = 2\sin x \cos x$

$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \implies \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

上記の公式を代入すると、

$y = \sin 2x - 3 \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right)$

$y = \sin 2x - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}\cos 2x$

$y = \sin 2x + \frac{3}{2}\cos 2x - \frac{3}{2}$

ここで、$R\sin(2x + \alpha) = R\sin 2x \cos \alpha + R\cos 2x \sin \alpha$ の形に変形することを考えます。

$R\cos \alpha = 1$

$R\sin \alpha = \frac{3}{2}$

両辺を2乗して足すと、

$R^2 \cos^2 \alpha + R^2 \sin^2 \alpha = 1^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2$

$R^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 1 + \frac{9}{4}$

$R^2 = \frac{13}{4}$

$R = \frac{\sqrt{13}}{2}$

したがって、$y = \frac{\sqrt{13}}{2}\sin(2x + \alpha) - \frac{3}{2}$ (ただし、$\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{13}}$, $\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}$)

次に、$0 \le x \le \frac{\pi}{4}$ より、$0 \le 2x \le \frac{\pi}{2}$ となります。

したがって、$\alpha \le 2x + \alpha \le \frac{\pi}{2} + \alpha$

$\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}$ より、$\alpha = \arcsin \frac{3}{\sqrt{13}}$ であり、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ である。

$\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13} \approx \frac{3 \times 3.6}{13} \approx 0.83$

$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$

$\arcsin(0.83) \approx 0.98$

したがって、$0.98 \le 2x + \alpha \le 0.98 + 1.57 = 2.55$

ここで、$\sin(2x + \alpha)$ の最大値と最小値を考えます。

$\sin(2x + \alpha)$ の最大値は、$2x + \alpha = \frac{\pi}{2}$ のとき、$1$ となります。

$\sin(2x + \alpha)$ の最小値は、$2x = 0$のとき $\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}$ となります。

したがって、

最大値：$y = \frac{\sqrt{13}}{2} (1) - \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{13} - 3}{2}$

最小値：$y = \frac{\sqrt{13}}{2} \left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right) - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0$

$x = 0$ のとき、$y = (2\cos 0 - 3\sin 0)\sin 0 = (2)(0) = 0$

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$y = (2\cos \frac{\pi}{4} - 3\sin \frac{\pi}{4})\sin \frac{\pi}{4} = (2(\frac{\sqrt{2}}{2}) - 3(\frac{\sqrt{2}}{2}))(\frac{\sqrt{2}}{2}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

$2x + \alpha = \frac{\pi}{2}$ のとき、$2x = \frac{\pi}{2} - \alpha$ より、$x = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$

このとき、$0 < \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}$ となるので、$y = \frac{\sqrt{13} - 3}{2}$

したがって、最大値は$\frac{\sqrt{13} - 3}{2}$、最小値は$-\frac{1}{2}$です。

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{\sqrt{13}-3}{2}$

最小値：$-\frac{1}{2}$