(1) $1 \le x \le 8$ のとき、関数 $y = (\log_2{\frac{2}{x}})(\log_2{\frac{x}{8}})$ の最大値、最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。 (2) 関数 $y = \log_2{(x-2)} + 2\log_4{(3-x)}$ の最大値を求めよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

(1) $1 \le x \le 8$ のとき、関数 $y = (\log_2{\frac{2}{x}})(\log_2{\frac{x}{8}})$ の最大値、最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。

(2) 関数 $y = \log_2{(x-2)} + 2\log_4{(3-x)}$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y$ を変形します。

$y = (\log_2{2} - \log_2{x})(\log_2{x} - \log_2{8})$

$y = (1 - \log_2{x})(\log_2{x} - 3)$

$t = \log_2{x}$ とおくと、

$1 \le x \le 8$ より、$\log_2{1} \le \log_2{x} \le \log_2{8}$ なので、

$0 \le t \le 3$ となります。

$y = (1-t)(t-3)$

$y = -t^2 + 4t - 3$

$y = -(t^2 - 4t) - 3$

$y = -(t^2 - 4t + 4) + 4 - 3$

$y = -(t-2)^2 + 1$

これは、上に凸の放物線で、頂点は $(2, 1)$ です。

$0 \le t \le 3$ の範囲で、$y$ は $t=2$ のとき最大値 $1$ をとり、$t=0$ のとき最小値 $-3$ をとります。

$t = 2$ のとき、$\log_2{x} = 2$ なので、$x = 2^2 = 4$

$t = 0$ のとき、$\log_2{x} = 0$ なので、$x = 2^0 = 1$

(2)

まず、定義域を考えます。$\log_2{(x-2)}$ が定義されるためには $x-2 > 0$ より $x > 2$。$\log_4{(3-x)}$ が定義されるためには $3-x > 0$ より $x < 3$。したがって、$2 < x < 3$ です。

$y = \log_2{(x-2)} + 2\log_4{(3-x)}$

$y = \log_2{(x-2)} + 2 \cdot \frac{\log_2{(3-x)}}{\log_2{4}}$

$y = \log_2{(x-2)} + 2 \cdot \frac{\log_2{(3-x)}}{2}$

$y = \log_2{(x-2)} + \log_2{(3-x)}$

$y = \log_2{(x-2)(3-x)}$

$y = \log_2{(-x^2 + 5x - 6)}$

$f(x) = -x^2 + 5x - 6$ とおくと、

$f(x) = -(x^2 - 5x) - 6$

$f(x) = -(x^2 - 5x + \frac{25}{4}) + \frac{25}{4} - 6$

$f(x) = -(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{4} - \frac{24}{4}$

$f(x) = -(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{1}{4}$

$2 < x < 3$ の範囲で、$f(x)$ は $x = \frac{5}{2}$ のとき最大値 $\frac{1}{4}$ をとります。

したがって、$y$ の最大値は $\log_2{\frac{1}{4}} = \log_2{2^{-2}} = -2$ です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $1$ ($x=4$ のとき), 最小値: $-3$ ($x=1$ のとき)

(2) 最大値: $-2$