定積分 $S = \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $S = \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を展開します。

$(x-\alpha)(x-\beta) = x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta$

次に、この式を$\alpha$から$\beta$まで積分します。

$\int_{\alpha}^{\beta} (x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta) dx = [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}(\alpha+\beta)x^2 + \alpha\beta x]_{\alpha}^{\beta}$

ここで、積分範囲の端点を代入します。

$= (\frac{1}{3}\beta^3 - \frac{1}{2}(\alpha+\beta)\beta^2 + \alpha\beta^2) - (\frac{1}{3}\alpha^3 - \frac{1}{2}(\alpha+\beta)\alpha^2 + \alpha^2\beta)$

$= \frac{1}{3}(\beta^3 - \alpha^3) - \frac{1}{2}(\alpha\beta^2 + \beta^3 - \alpha^3 - \alpha^2\beta) + \alpha\beta(\beta - \alpha)$

$= \frac{1}{3}(\beta^3 - \alpha^3) - \frac{1}{2}\alpha\beta(\beta - \alpha) - \frac{1}{2}(\beta^3 - \alpha^3) + \alpha\beta(\beta - \alpha)$

$= -\frac{1}{6}(\beta^3 - \alpha^3) + \frac{1}{2}\alpha\beta(\beta - \alpha)$

$= -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)(\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2) + \frac{1}{2}\alpha\beta(\beta - \alpha)$

$= -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)(\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2 - 3\alpha\beta)$

$= -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)(\beta^2 - 2\alpha\beta + \alpha^2)$

$= -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)(\beta-\alpha)^2$

$= -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$

3. 最終的な答え

$S = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$