定積分 $S = \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx$ を計算し、その結果が $S = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$ となることを示す問題です。

1. 問題の内容

定積分 $S = \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx$ を計算し、その結果が $S = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$ となることを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を展開します。

$(x - \alpha)(x - \beta) = x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta$

次に、この式を $\alpha$ から $\beta$ まで積分します。

$\int_{\alpha}^{\beta} (x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}(\alpha + \beta)x^2 + \alpha\beta x \right]_{\alpha}^{\beta}$

積分範囲を代入します。

$= \left( \frac{1}{3}\beta^3 - \frac{1}{2}(\alpha + \beta)\beta^2 + \alpha\beta^2 \right) - \left( \frac{1}{3}\alpha^3 - \frac{1}{2}(\alpha + \beta)\alpha^2 + \alpha^2\beta \right)$

$= \frac{1}{3}(\beta^3 - \alpha^3) - \frac{1}{2}(\alpha\beta^2 + \beta^3 - \alpha^3 - \alpha^2\beta) + \alpha\beta(\beta - \alpha)$

$= \frac{1}{3}(\beta^3 - \alpha^3) - \frac{1}{2}\beta^3 + \frac{1}{2}\alpha^3 - \frac{1}{2}\alpha\beta^2 + \frac{1}{2}\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 - \alpha^2\beta$

$= (\frac{1}{3} - \frac{1}{2})(\beta^3 - \alpha^3) + (\alpha - \frac{1}{2}\alpha)\beta^2 + (\frac{1}{2}\alpha - \alpha)\alpha\beta$

$= -\frac{1}{6}(\beta^3 - \alpha^3) + \frac{1}{2}\alpha\beta^2 - \frac{1}{2}\alpha^2\beta$

$= -\frac{1}{6}(\beta^3 - \alpha^3) - \frac{1}{2}\alpha\beta(\alpha-\beta)$

ここで、$\beta^3 - \alpha^3 = (\beta - \alpha)(\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2)$ なので、

$= -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)(\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2) - \frac{1}{2}\alpha\beta(\alpha-\beta)$

$= -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)(\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2) + \frac{1}{2}\alpha\beta(\beta-\alpha)$

$= (\beta - \alpha) \left[ -\frac{1}{6}(\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2) + \frac{1}{2}\alpha\beta \right]$

$= (\beta - \alpha) \left[ -\frac{1}{6}\beta^2 - \frac{1}{6}\alpha\beta - \frac{1}{6}\alpha^2 + \frac{3}{6}\alpha\beta \right]$

$= (\beta - \alpha) \left[ -\frac{1}{6}\beta^2 + \frac{2}{6}\alpha\beta - \frac{1}{6}\alpha^2 \right]$

$= -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)(\beta^2 - 2\alpha\beta + \alpha^2)$

$= -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)(\beta - \alpha)^2$

$= -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$

3. 最終的な答え

$S = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$