$0 < \theta < \pi$ のとき、方程式 $\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta = 2$ を解く問題です。

1. 問題の内容

$0 < \theta < \pi$ のとき、方程式 $\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta = 2$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を行います。

$\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta = 2$

左辺を合成するため、$r \sin(\theta + \alpha)$ の形に変形することを考えます。

$r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

よって、

$2 \left( \frac{1}{2} \sin \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \right) = 2$

$\frac{1}{2} \sin \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta = 1$

$\cos \frac{\pi}{3} \sin \theta - \sin \frac{\pi}{3} \cos \theta = 1$

$\sin \left( \theta - \frac{\pi}{3} \right) = 1$

$0 < \theta < \pi$ より、 $-\frac{\pi}{3} < \theta - \frac{\pi}{3} < \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

$-\frac{\pi}{3} < \theta - \frac{\pi}{3} < \frac{2\pi}{3}$ の範囲で $\sin \left( \theta - \frac{\pi}{3} \right) = 1$ を満たすのは

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{5\pi}{6}$