次の定積分を計算します。 $\int_{0}^{1} \frac{dx}{e^{x} + 1}$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{e^{x} + 1}$

2. 解き方の手順

与えられた積分を $I$ とおきます。

$I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{e^{x} + 1}$

ここで、$e^{-x}$ を分子と分母に掛けます。

$I = \int_{0}^{1} \frac{e^{-x}}{e^{-x}(e^{x} + 1)} dx = \int_{0}^{1} \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} dx$

ここで、$u = 1 + e^{-x}$ と置換すると、$du = -e^{-x} dx$ となります。

積分範囲も変更します。

$x = 0$ のとき、$u = 1 + e^{-0} = 1 + 1 = 2$

$x = 1$ のとき、$u = 1 + e^{-1} = 1 + \frac{1}{e}$

したがって、

$I = \int_{2}^{1+\frac{1}{e}} \frac{-du}{u} = -\int_{2}^{1+\frac{1}{e}} \frac{1}{u} du$

$I = - [\ln |u|]_{2}^{1+\frac{1}{e}} = - (\ln(1+\frac{1}{e}) - \ln 2) = \ln 2 - \ln(1 + \frac{1}{e}) = \ln 2 - \ln(\frac{e+1}{e})$

$I = \ln 2 - (\ln(e+1) - \ln e) = \ln 2 - \ln(e+1) + \ln e = \ln 2 - \ln(e+1) + 1$

$I = 1 + \ln 2 - \ln(e+1) = 1 + \ln(\frac{2}{e+1})$

3. 最終的な答え

$1 + \ln(\frac{2}{e+1})$