長方形がア、イ、ウ、エ、オの5つの部分に分けられています。隣り合う部分が同じ色にならないように、赤、青、緑、黒、黄色の5色のうち何色かを使って塗り分けます。ただし、使わない色があっても良いとします。このとき、ア、イ、ウ、エ、オを3色で塗り分ける方法は何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

長方形がア、イ、ウ、エ、オの5つの部分に分けられています。隣り合う部分が同じ色にならないように、赤、青、緑、黒、黄色の5色のうち何色かを使って塗り分けます。ただし、使わない色があっても良いとします。このとき、ア、イ、ウ、エ、オを3色で塗り分ける方法は何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

ア、イ、ウ、エ、オを3色で塗り分ける方法を考えます。

まず、使用する3色の選び方は、5色から3色を選ぶ組み合わせなので、

${}_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ 通りです。

次に、選んだ3色でア、イ、ウ、エ、オを塗り分ける方法を考えます。

ア、イ、ウは互いに隣り合っているので、全て異なる色で塗る必要があります。まず、アの色を決めると、イの色はア以外の2色から選び、ウの色はアとイ以外の1色に決まります。

エとオは隣り合っているので、エ、オの色を先に決定します。

場合1：エとオが同じ色の場合

エとオの色は、ア、イ、ウとは異なる色でなければなりません。しかし、ア、イ、ウは3色を使用しているので、エとオが同じ色になることはありえません。したがって、エとオは異なる色になります。

場合2：エとオが異なる色の場合

エとオの色は、ア、ウと異なる色でなければなりません。

アの色を固定します。

イの色はアと異なる2色から選びます。

ウの色はアともイとも異なる1色に決まります。

エの色は、アとウとは異なる2色から選びます。

オの色は、ア、エ、ウとは異なる1色に決まります。

したがって、ア、イ、ウの色の選び方が決まると、エ、オの色は自動的に決まります。

アの色を3色から選びます。

イの色は、アの色以外の2色から選びます。

ウの色は、アの色ともイの色とも異なる1色に決まります。

エの色は、アの色とウの色と異なる色から選びます。

オの色は、アの色とエの色とウの色と異なる色から選びます。

ア、イ、ウ、エ、オに順番に色を塗ることを考えると、

アの色の選び方は3通り。

イの色の選び方は2通り。

ウの色の選び方は1通り。

エの色の選び方は1通り。

オの色の選び方は1通り。

したがって、3色を使って塗り分ける方法は $3 \times 2 \times 1 = 6$ 通りです。

よって、全部で $10 \times 6 = 30$ 通りの塗り方があります。

3. 最終的な答え

30通り