$x = \frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}}$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求めよ。

はい、承知しました。

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}}$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{11}-\sqrt{10}}{(\sqrt{11}+\sqrt{10})(\sqrt{11}-\sqrt{10})} = \frac{\sqrt{11}-\sqrt{10}}{11-10} = \sqrt{11}-\sqrt{10}$

$y = \frac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{11}+\sqrt{10}}{(\sqrt{11}-\sqrt{10})(\sqrt{11}+\sqrt{10})} = \frac{\sqrt{11}+\sqrt{10}}{11-10} = \sqrt{11}+\sqrt{10}$

次に、$x^2$ と $y^2$ を計算します。

$x^2 = (\sqrt{11}-\sqrt{10})^2 = 11 - 2\sqrt{11}\sqrt{10} + 10 = 21 - 2\sqrt{110}$

$y^2 = (\sqrt{11}+\sqrt{10})^2 = 11 + 2\sqrt{11}\sqrt{10} + 10 = 21 + 2\sqrt{110}$

最後に、$x^2 + y^2$ を計算します。

$x^2 + y^2 = (21 - 2\sqrt{110}) + (21 + 2\sqrt{110}) = 42$

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 = 42$