次の4つの式を因数分解します。 (1) $a^2 + b^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ (2) $x^3 + x^2 + 2x + 2$ (3) $4b - 12 - (b-3)^3$ (4) $x^3y^2 + x^2y^3 + (2xy + 1)(x + y)$

はい、承知いたしました。与えられた問題を解きます。

1. 問題の内容

次の4つの式を因数分解します。

(1) $a^2 + b^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

(2) $x^3 + x^2 + 2x + 2$

(3) $4b - 12 - (b-3)^3$

(4) $x^3y^2 + x^2y^3 + (2xy + 1)(x + y)$

2. 解き方の手順

(1)

$a^2 + b^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

$= (a+b)^2 + 2c(a+b)$

$= (a+b)(a+b+2c)$

$= (a+b)(a+b+2c)$

(2)

$x^3 + x^2 + 2x + 2$

$= x^2(x+1) + 2(x+1)$

$= (x^2+2)(x+1)$

(3)

$4b - 12 - (b-3)^3$

$= 4(b-3) - (b-3)^3$

$= (b-3)[4 - (b-3)^2]$

$= (b-3)[2^2 - (b-3)^2]$

$= (b-3)[2 - (b-3)][2 + (b-3)]$

$= (b-3)(2-b+3)(2+b-3)$

$= (b-3)(5-b)(b-1)$

$= -(b-3)(b-5)(b-1)$

$= (3-b)(b-5)(b-1)$

$= (b-1)(3-b)(b-5)$

(4)

$x^3y^2 + x^2y^3 + (2xy+1)(x+y)$

$= x^2y^2(x+y) + (2xy+1)(x+y)$

$= (x+y)(x^2y^2 + 2xy + 1)$

$= (x+y)(xy+1)^2$

3. 最終的な答え

(1) $(a+b)(a+b+2c)$

(2) $(x+1)(x^2+2)$

(3) $(b-1)(3-b)(b-5)$

(4) $(x+y)(xy+1)^2$