画像に掲載されている数列の問題を解きます。 (1) 一般項 $a_n = (-3)^n + 3n$ の数列の第3項を求めます。 (2) 初項3、公差4の等差数列の第23項を求めます。 (3) 初項-3、公差5の等差数列において、初項から第16項までの和を求めます。 (4) 初項24、公比 $-\frac{1}{2}$ の等比数列の第7項を求めます。 (5) 初項2、公比3の等比数列において、初項から第6項までの和を求めます。 (6) $\sum_{k=1}^{20} (k+1)$ の値を求めます。 (7) $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 8^2$ の値を求めます。 (8) 数列 1, 2, 4, 7, 11, ... の第10項を求めます。

1. 問題の内容

画像に掲載されている数列の問題を解きます。

(1) 一般項 $a_n = (-3)^n + 3n$ の数列の第3項を求めます。

(2) 初項3、公差4の等差数列の第23項を求めます。

(3) 初項-3、公差5の等差数列において、初項から第16項までの和を求めます。

(4) 初項24、公比 $-\frac{1}{2}$ の等比数列の第7項を求めます。

(5) 初項2、公比3の等比数列において、初項から第6項までの和を求めます。

(6) $\sum_{k=1}^{20} (k+1)$ の値を求めます。

(7) $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 8^2$ の値を求めます。

(8) 数列 1, 2, 4, 7, 11, ... の第10項を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 第3項は $n=3$ を代入して $a_3 = (-3)^3 + 3(3) = -27 + 9 = -18$

(2) 等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$。よって、第23項は $a_{23} = 3 + (23-1)4 = 3 + 22 \times 4 = 3 + 88 = 91$

(3) 等差数列の和は $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$。よって、初項から第16項までの和は $S_{16} = \frac{16}{2}(2(-3) + (16-1)5) = 8(-6 + 15 \times 5) = 8(-6 + 75) = 8(69) = 552$

(4) 等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$。よって、第7項は $a_7 = 24 \times (-\frac{1}{2})^{7-1} = 24 \times (-\frac{1}{2})^6 = 24 \times \frac{1}{64} = \frac{24}{64} = \frac{3}{8}$

(5) 等比数列の和は $S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$。よって、初項から第6項までの和は $S_6 = \frac{2(1-3^6)}{1-3} = \frac{2(1-729)}{-2} = \frac{2(-728)}{-2} = 728$

(6) $\sum_{k=1}^{20} (k+1) = \sum_{k=1}^{20} k + \sum_{k=1}^{20} 1 = \frac{20(20+1)}{2} + 20 = \frac{20(21)}{2} + 20 = 10(21) + 20 = 210 + 20 = 230$

(7) $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。よって、$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 8^2 = \frac{8(8+1)(2(8)+1)}{6} = \frac{8 \times 9 \times 17}{6} = \frac{8 \times 3 \times 17}{2} = 4 \times 3 \times 17 = 12 \times 17 = 204$

(8) 階差数列を考える。1, 2, 4, 7, 11,... の階差は 1, 2, 3, 4,... となる。これは $b_n = n$。元の数列の一般項は $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + \frac{(n-1)n}{2}$。

よって、$a_{10} = 1 + \frac{(10-1)10}{2} = 1 + \frac{9 \times 10}{2} = 1 + 45 = 46$

3. 最終的な答え

(1) -18

(2) 91

(3) 552

(4) 3/8

(5) 728

(6) 230

(7) 204

(8) 46