半径5cm、高さ10cmの円柱から、半径3cm、高さ7cmの円柱をくり抜いた立体について、以下の問いに答えます。 (1) くり抜かれた立体は、ア～エのどの平面図形を軸を中心に回転させたものか。 (2) くり抜かれた円柱の体積を求める。 (3) くり抜かれた立体の表面積は、元の円柱の表面積よりどれだけ大きいか。

1. 問題の内容

半径5cm、高さ10cmの円柱から、半径3cm、高さ7cmの円柱をくり抜いた立体について、以下の問いに答えます。

(1) くり抜かれた立体は、ア～エのどの平面図形を軸を中心に回転させたものか。

(2) くり抜かれた円柱の体積を求める。

(3) くり抜かれた立体の表面積は、元の円柱の表面積よりどれだけ大きいか。

2. 解き方の手順

(1)

くり抜かれた立体の形状を考えると、図形ウを軸を中心に回転させると、そのような形状になることがわかります。

(2)

くり抜いた立体の体積は、元の円柱の体積からくり抜かれた円柱の体積を引くことで求められます。

元の円柱の体積は、

$V_1 = \pi r_1^2 h_1 = \pi \times 5^2 \times 10 = 250\pi$ cm$^3$

くり抜かれた円柱の体積は、

$V_2 = \pi r_2^2 h_2 = \pi \times 3^2 \times 7 = 63\pi$ cm$^3$

くり抜いた立体の体積は、

$V = V_1 - V_2 = 250\pi - 63\pi = 187\pi$ cm$^3$

(3)

くり抜かれた立体の表面積は、元の円柱の表面積に、くり抜かれた部分の内側の表面積と、底面のドーナツ型の面積の2倍を加えることで求められます。

元の円柱の表面積は、

$S_1 = 2\pi r_1^2 + 2\pi r_1 h_1 = 2\pi \times 5^2 + 2\pi \times 5 \times 10 = 50\pi + 100\pi = 150\pi$ cm$^2$

くり抜かれた円柱の内側の表面積は、

$S_2 = 2\pi r_2 h_2 = 2\pi \times 3 \times 7 = 42\pi$ cm$^2$

底面のドーナツ型の面積は、

$S_3 = \pi r_1^2 - \pi r_2^2 = \pi \times 5^2 - \pi \times 3^2 = 25\pi - 9\pi = 16\pi$ cm$^2$

したがって、くり抜かれた立体の表面積は、

$S = S_1 - 2\pi r_1^2 + S_2 + 2S_3 = 2 \pi r_1 h_1 + S_2 + 2S_3= 100 \pi + 42 \pi + 32 \pi = 174 \pi$ cm$^2$

あるいは、

$S = 2 \pi r_1 h_1 + 2 \pi r_2 h_2 + 2 (\pi r_1^2 - \pi r_2^2) = 2 \pi (5)(10) + 2 \pi (3)(7) + 2(\pi (25) - \pi (9)) = 100 \pi + 42 \pi + 2 (16 \pi) = 100 \pi + 42 \pi + 32 \pi = 174 \pi$ cm$^2$

もとの円柱の表面積は、$150\pi$ cm$^2$ で、くり抜いた立体の表面積は、$174\pi$ cm$^2$ なので、その差は$24\pi$ cm$^2$ ではない。

くり抜いた立体の表面積 = 元の円柱の側面積 + 小さい円柱の側面積 + 上下面の面積 = $2 \pi (5)(10) + 2 \pi (3)(7) + 2 \pi (5^2 - 3^2) = 100 \pi + 42 \pi + 32 \pi = 174 \pi$

元の円柱の表面積 = $2 \pi (5)(10) + 2 \pi (5^2) = 100 \pi + 50 \pi = 150 \pi$

差 = $174 \pi - 150 \pi = 24 \pi$

3. 最終的な答え

(1) ウ

(2) $187\pi$ cm$^3$

(3) $24\pi$ cm$^2$