点Oを中心とする半径3の円の外部に点Pがあります。点Pから引いた直線が円Oと2点A, Bで交わっており、点Pに近い方からA, Bとします。OP = 7, AB = 3のとき、PAの長さを求めなさい。

1. 問題の内容

点Oを中心とする半径3の円の外部に点Pがあります。点Pから引いた直線が円Oと2点A, Bで交わっており、点Pに近い方からA, Bとします。OP = 7, AB = 3のとき、PAの長さを求めなさい。

2. 解き方の手順

方べきの定理を利用します。

点Pから円Oへの直線に関して、

$PA \times PB = (PO - r) \times (PO + r)$

ここで、rは円Oの半径です。

問題より、OP = 7, AB = 3, 円の半径r = 3です。

また、PB = PA + AB なので、PB = PA + 3となります。

上記の方べきの定理にこれらの値を代入すると、

$PA \times (PA + 3) = (7 - 3) \times (7 + 3)$

$PA \times (PA + 3) = 4 \times 10$

$PA \times (PA + 3) = 40$

$PA^2 + 3PA = 40$

$PA^2 + 3PA - 40 = 0$

この2次方程式を解きます。

$(PA + 8)(PA - 5) = 0$

PAは長さなので、PA > 0です。

したがって、PA = 5となります。

3. 最終的な答え

5