座標平面上に原点 $O(0, 0)$、点 $A(2, 4)$ と円 $x^2 + y^2 = 64$ がある。円周上の点 $P$ と点 $A$ を通る弦を $PQ$ とする。点 $P$ が円周上を動くとき、弦 $PQ$ の中点 $M$ の軌跡の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に原点 $O(0, 0)$、点 $A(2, 4)$ と円 $x^2 + y^2 = 64$ がある。円周上の点 $P$ と点 $A$ を通る弦を $PQ$ とする。点 $P$ が円周上を動くとき、弦 $PQ$ の中点 $M$ の軌跡の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

点 $P$ の座標を $(s, t)$ とする。点 $P$ は円 $x^2 + y^2 = 64$ 上にあるので、

$s^2 + t^2 = 64$

である。

$Q$ を $Q(x,y)$ とし、線分 $PQ$ の中点を $M(X, Y)$ とすると、

$X = \frac{x+s}{2}$, $Y = \frac{y+t}{2}$

$x = 2X-s$, $y = 2Y-t$

また、$A$ も直線 $PQ$ 上にあるので、$P,A,Q$ は同一直線上にある。

$P(s, t), A(2, 4), Q(x, y)$ が同一直線上にある条件は、直線 $PA$ の傾きと直線 $AQ$ の傾きが等しいことである。

よって、

$\frac{t-4}{s-2} = \frac{4-y}{2-x}$

$A(2,4)$ は弦 $PQ$ 上の点だから、$P,Q,A$ は同一直線上にある。

$M$ は弦 $PQ$ の中点なので、$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OP} + \vec{OQ})$ が成り立つ。

すなわち、$(X, Y) = \frac{1}{2}(s+x, t+y)$

よって、$x = 2X-s$, $y = 2Y-t$

$A(2, 4)$ は直線 $PQ$ 上にあるので、$\vec{OA} = k \vec{OP} + (1-k)\vec{OQ}$ となる実数 $k$ が存在する。

すなわち、$(2, 4) = k(s, t) + (1-k)(x, y) = k(s, t) + (1-k)(2X-s, 2Y-t)$

したがって、

$2 = ks + (1-k)(2X-s) = ks + 2X - s - 2kX + ks = 2ks + 2X - s - 2kX$

$4 = kt + (1-k)(2Y-t) = kt + 2Y - t - 2kY + kt = 2kt + 2Y - t - 2kY$

$s(2k-1) - 2kX = 2 - 2X$

$t(2k-1) - 2kY = 4 - 2Y$

$s = \frac{2-2X+2kX}{2k-1}$

$t = \frac{4-2Y+2kY}{2k-1}$

$s^2+t^2 = 64$ に代入して、

$\left( \frac{2-2X+2kX}{2k-1} \right)^2 + \left( \frac{4-2Y+2kY}{2k-1} \right)^2 = 64$

$(2-2X+2kX)^2 + (4-2Y+2kY)^2 = 64(2k-1)^2$

$4(1-X+kX)^2 + 4(2-Y+kY)^2 = 64(2k-1)^2$

$(1+(k-1)X)^2 + (2+(k-1)Y)^2 = 16(2k-1)^2$

中点の座標を$(X, Y)$ とすると、円の中心 $O(0,0)$ と点 $A(2,4)$ を結ぶ線分の中点の座標は $(1, 2)$ である。

円 $x^2+y^2 = 64$ の中心 $(0,0)$ と点 $A(2,4)$ を結ぶ線分の中点 $(1,2)$ を考え、$x=X-1$, $y=Y-2$ とする。

$X = x+1$, $Y=y+2$ を $x^2+y^2 = 64$ に代入すると、$(x+1)^2 + (y+2)^2 = 64$

$x^2+2x+1 + y^2+4y+4 = 64$

$x^2+y^2+2x+4y = 59$

中点の座標 $(X, Y)$ は、線分 $OA$ の中点 $(1, 2)$ を中心とする円になる。

$M(X,Y)$とおく．$Q(x,y)$とおくと，$\vec{OM}=\frac{\vec{OP}+\vec{OQ}}{2}$，

つまり$2\vec{OM}=\vec{OP}+\vec{OQ}$より$2(X,Y)=(s,t)+(x,y)$，

よって$x=2X-s$，$y=2Y-t$．

またAは弦PQ上の点なので，$kAP+(1-k)AQ=0$となるkが存在する

$P$の座標を$(s,t)$とすると，$s^2+t^2=64$

$Q(x,y)$はAPを結ぶ直線上にある．

$2X=\frac{2+s}{2}, 2Y=\frac{4+t}{2}$

$X = \frac{s+2}{2}, Y = \frac{t+4}{2}$

$s = 2X-2$, $t = 2Y-4$

$s^2+t^2 = (2X-2)^2 + (2Y-4)^2 = 4(X-1)^2 + 4(Y-2)^2 = 64$

$(X-1)^2 + (Y-2)^2 = 16$

ただし、$P=Q$ のとき、点 $A(2, 4)$ は円 $x^2+y^2 = 64$ の内部にあるので、弦 $PQ$ は点 $A$ を通らない。

$x^2+y^2 = 64$ 上で点 $A$ と重なる場合は除く必要がある。

3. 最終的な答え

$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 16$