この問題は、2つの異なる円に関する問題を扱っています。 (2) 点$(2, 4)$を通り、$x$軸と$y$軸の両方に接する円の方程式を求める問題です。 (3) 3点$(1, 3)$, $(4, 2)$, $(5, -5)$を通る円の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

この問題は、2つの異なる円に関する問題を扱っています。

(2) 点$(2, 4)$を通り、$x$軸と$y$軸の両方に接する円の方程式を求める問題です。

(3) 3点$(1, 3)$, $(4, 2)$, $(5, -5)$を通る円の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(2) 点$(2, 4)$を通り、$x$軸と$y$軸の両方に接する円

円の中心の座標を$(r, r)$とおくことができます。なぜなら、$x$軸と$y$軸の両方に接する円の中心は、原点からの距離が等しいからです。円の方程式は次のようになります。

$(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$

この円が点$(2, 4)$を通るので、この点を方程式に代入します。

$(2 - r)^2 + (4 - r)^2 = r^2$

$4 - 4r + r^2 + 16 - 8r + r^2 = r^2$

$r^2 - 12r + 20 = 0$

$(r - 2)(r - 10) = 0$

$r = 2$ または $r = 10$

したがって、円の方程式は次の2つになります。

$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4$

$(x - 10)^2 + (y - 10)^2 = 100$

(3) 3点$(1, 3)$, $(4, 2)$, $(5, -5)$を通る円

円の方程式を$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$とおきます。この円が3点を通るので、それぞれの点を方程式に代入します。

点$(1, 3)$を通る:

$1^2 + 3^2 + A(1) + B(3) + C = 0$

$1 + 9 + A + 3B + C = 0$

$A + 3B + C = -10$

点$(4, 2)$を通る:

$4^2 + 2^2 + A(4) + B(2) + C = 0$

$16 + 4 + 4A + 2B + C = 0$

$4A + 2B + C = -20$

点$(5, -5)$を通る:

$5^2 + (-5)^2 + A(5) + B(-5) + C = 0$

$25 + 25 + 5A - 5B + C = 0$

$5A - 5B + C = -50$

3つの式を連立させて解きます。

$A + 3B + C = -10$ (1)

$4A + 2B + C = -20$ (2)

$5A - 5B + C = -50$ (3)

(2) - (1):

$3A - B = -10$ (4)

(3) - (1):

$4A - 8B = -40$

$A - 2B = -10$ (5)

(4) - 3 * (5):

$3A - B - 3(A - 2B) = -10 - 3(-10)$

$3A - B - 3A + 6B = -10 + 30$

$5B = 20$

$B = 4$

(5)に代入:

$A - 2(4) = -10$

$A - 8 = -10$

$A = -2$

(1)に代入:

$-2 + 3(4) + C = -10$

$-2 + 12 + C = -10$

$10 + C = -10$

$C = -20$

したがって、円の方程式は$x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$です。

3. 最終的な答え

(2) $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4$ と $(x - 10)^2 + (y - 10)^2 = 100$

(3) $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$