三角形ABCにおいて、$AB = 15, BC = 16, CA = 9$である。頂点Aにおける内角の二等分線と辺BCの交点をP、外角の二等分線と辺BCの延長との交点をQとするとき、以下の長さを求めよ。 (1) BP (2) BQ

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 15, BC = 16, CA = 9$である。頂点Aにおける内角の二等分線と辺BCの交点をP、外角の二等分線と辺BCの延長との交点をQとするとき、以下の長さを求めよ。

(1) BP

(2) BQ

2. 解き方の手順

(1) BPの長さを求める。

内角の二等分線の定理より、$BP:PC = AB:AC$

$BP:PC = 15:9 = 5:3$

$BP + PC = BC = 16$なので、$BP = \frac{5}{5+3} \times 16 = \frac{5}{8} \times 16 = 10$

(2) BQの長さを求める。

外角の二等分線の定理より、$BQ:CQ = AB:AC$

$BQ:CQ = 15:9 = 5:3$

$BQ - CQ = BC = 16$なので、$CQ = BQ - 16$

$BQ:(BQ-16) = 5:3$

$3BQ = 5(BQ - 16)$

$3BQ = 5BQ - 80$

$2BQ = 80$

$BQ = 40$

3. 最終的な答え

(1) $BP = 10$

(2) $BQ = 40$