台形ABCDがあり、点Pは点Bを出発点として、辺BC、CD上を毎秒2cmの速さで動く。点Pが点Bを出発してから$x$秒後までに線分APが通ったあとの部分の面積を$y cm^2$とする。 (1) 点Pが辺BC上にあるとき、$y$を表す式と$x$の変域を求めよ。 (2) 点Pが辺CD上にあるとき、$y$を表す式と$x$の変域を求めよ。

1. 問題の内容

台形ABCDがあり、点Pは点Bを出発点として、辺BC、CD上を毎秒2cmの速さで動く。点Pが点Bを出発してから$x$秒後までに線分APが通ったあとの部分の面積を$y cm^2$とする。

(1) 点Pが辺BC上にあるとき、$y$を表す式と$x$の変域を求めよ。

(2) 点Pが辺CD上にあるとき、$y$を表す式と$x$の変域を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Pが辺BC上にあるとき

BP = $2x$ cmとなる。

三角形ABPの面積は、底辺をBP、高さをABとしたとき、$y = \frac{1}{2} \times 2x \times 6 = 6x$となる。

点Pが点Cに着くのは、$2x = 10$のときなので、$x = 5$となる。

よって、$x$の変域は、$0 \leq x \leq 5$となる。

(2) 点Pが辺CD上にあるとき

台形ABCDの面積は、(上底 + 下底) × 高さ ÷ 2で求められるので、$(5 + 10) \times 6 \div 2 = 45 cm^2$となる。

点Pが点Cから点Dまで移動する時間を考える。CP = $2x - 10$で表される。

台形ABCPの面積は$y = 45 - \frac{1}{2} \times (2x - 10) \times 6 = 45 - 6x + 30 = 75 - 6x$となる。

点Pが点Dに着くのは、BC + CD = $10 + 6 = 16$なので、$2x = 16$のとき、$x = 8$となる。

よって、$x$の変域は、$5 < x \leq 8$となる。

3. 最終的な答え

(1) 辺BC上にあるとき：

$y = 6x$

$0 \leq x \leq 5$

(2) 辺CD上にあるとき：

$y = 75 - 6x$

$5 < x \leq 8$