台形ABCDにおいて、点PがBを出発し、BC, CD上をDまで毎秒2cmの速さで動く。点PがBを出発してからx秒後までに線分APが通ったあとの部分の面積をy $cm^2$とする。 (2) 点Pが辺CD上にあるとき、$y$を表す式と$x$の変域を求める。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、点PがBを出発し、BC, CD上をDまで毎秒2cmの速さで動く。点PがBを出発してからx秒後までに線分APが通ったあとの部分の面積をy $cm^2$とする。

(2) 点Pが辺CD上にあるとき、$y$を表す式と$x$の変域を求める。

2. 解き方の手順

まず、点Pが辺BC上にあるときの$x$の範囲を求める。BCの長さは10cmなので、点PがCに到達するまでの時間は$10 \div 2 = 5$秒である。したがって、点PがBC上にあるときの$x$の変域は$0 \leq x \leq 5$となる。

次に、点Pが辺CD上にあるときの$x$の範囲を求める。CDの長さは6cmなので、点PがCからDに到達するまでの時間は$6 \div 2 = 3$秒である。したがって、点PがCD上にあるときの$x$の変域は$5 \leq x \leq 8$となる。

点Pが辺CD上にあるとき、$y$は台形ABCPの面積を表す。台形ABCPの面積は、三角形ABCの面積と三角形ACPの面積の和である。

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \times BC \times AB = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30$ $cm^2$である。

点PがCから進んだ距離は、$2(x-5) = 2x - 10$ cmなので、CP = $2x-10$となる。

三角形ACPの面積は、$\frac{1}{2} \times CP \times AB = \frac{1}{2} \times (2x-10) \times 6 = 6x - 30$ $cm^2$である。

したがって、台形ABCPの面積は、$y = 30 + (6x-30) = 6x$となる。これは$5 \leq x \leq 8$ のときには成り立たない。

点PがCD上にあるとき、三角形ABDの面積から三角形APDの面積を引いたものが求める面積$y$となる。

三角形ABDの面積は、三角形ABCの面積+三角形ACDの面積= $\frac{1}{2} \times 10 \times 6 + \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 30+18=48$である。

点PがCから進んだ距離は、$2(x-5) = 2x-10$より、PD = $6 - (2x-10) = 16-2x$である。

三角形APDの面積は、$\frac{1}{2} \times (16-2x) \times 6 = (16-2x) \times 3 = 48-6x$である。

したがって、面積$y = 48 - (48-6x) = 48-48+6x=6x$ $cm^2$

次に、$y$を表す式を求める。

台形ABCDの面積は、三角形ABC+三角形ACD = $\frac{1}{2} \times 10 \times 6 + \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 30+18 = 48$となる。

3. 最終的な答え

$y = 6x$

変域は、$5 \leq x \leq 8$