三角形ABCにおいて、点Gは重心であり、$AG=2$, $BD=3$, $\angle ADC = 90^\circ$ である。線分AEとGEの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Gは重心であり、$AG=2$, $BD=3$, $\angle ADC = 90^\circ$ である。線分AEとGEの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) AEの長さを求める。

Gは重心なので、ADは中線である。

したがって、DはBCの中点となる。

$BD=3$なので、$BC = 2 \times BD = 2 \times 3 = 6$。

$\triangle ADC$ は直角三角形なので、三平方の定理より、

$AC^2 = AD^2 + DC^2$

また、$AD = AG + GD$。重心の性質より、$AG:GD = 2:1$なので、$GD = \frac{1}{2} AG = \frac{1}{2} \times 2 = 1$。

したがって、$AD = AG + GD = 2 + 1 = 3$。

$DC = BD = 3$なので、$AC^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$。

よって、$AC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$。

次に、Eは中線であるAEがACの中点であるため、$AE = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$。

(2) GEの長さを求める。

Gは重心なので、中線AEを2:1に内分する。

したがって、$AG:GE = 2:1$。

$AE = AG + GE$ なので、$GE = \frac{1}{3}AE = \frac{1}{3} \times \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) $AE = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

(2) $GE = \frac{\sqrt{2}}{2}$