(1) 直角三角形ABCにおいて、sinB、cosB、tanBの値を求める。 (2) $0^\circ < \theta < 90^\circ$ において、$sin\theta = \frac{2}{3}$ のとき、$cos\theta$ と $tan\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 直角三角形ABCにおいて、sinB、cosB、tanBの値を求める。

(2) $0^\circ < \theta < 90^\circ$ において、$sin\theta = \frac{2}{3}$ のとき、$cos\theta$ と $tan\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、三角形ABCにおいて、辺BCの長さをピタゴラスの定理を用いて求める。

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$13^2 = 5^2 + BC^2$

$169 = 25 + BC^2$

$BC^2 = 144$

$BC = 12$

次に、sinB, cosB, tanBを求める。

$sinB = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{13}$

$cosB = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{13}$

$tanB = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{12}$

(2)

$sin^2\theta + cos^2\theta = 1$ を用いて、$cos\theta$ を求める。

$cos^2\theta = 1 - sin^2\theta$

$cos^2\theta = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$cos\theta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ (∵ $0^\circ < \theta < 90^\circ$ なので、$cos\theta>0$)

次に、$tan\theta$ を求める。

$tan\theta = \frac{sin\theta}{cos\theta} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

(1)

$sinB = \frac{5}{13}$

$cosB = \frac{12}{13}$

$tanB = \frac{5}{12}$

(2)

$cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$tan\theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$