問題は、直角三角形ABCにおいて、与えられた辺の長さをもとに、$\sin B$, $\cos B$, $\tan B$, $AB$の値を求めること、および、$0^\circ < \theta < 90^\circ$のとき、$\sin \theta = \frac{2}{3}$から$\cos \theta$と$\tan \theta$を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、直角三角形ABCにおいて、与えられた辺の長さをもとに、$\sin B$, $\cos B$, $\tan B$, $AB$の値を求めること、および、$0^\circ < \theta < 90^\circ$のとき、$\sin \theta = \frac{2}{3}$から$\cos \theta$と$\tan \theta$を求めることです。

2. 解き方の手順

(1) 直角三角形ABCにおいて、

* $\sin B$の計算

$\sin B = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \frac{AC}{AB}$

$AB$を求める必要があるので、ピタゴラスの定理を使います。

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{25 + 64} = \sqrt{89}$

$\sin B = \frac{5}{\sqrt{89}} = \frac{5\sqrt{89}}{89}$

* $\cos B$の計算

$\cos B = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} = \frac{BC}{AB}$

$\cos B = \frac{8}{\sqrt{89}} = \frac{8\sqrt{89}}{89}$

* $\tan B$の計算

$\tan B = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \frac{AC}{BC}$

$\tan B = \frac{5}{8}$

* $AB$の計算

上で計算済み。

$AB = \sqrt{89}$

(2) $0^\circ < \theta < 90^\circ$において、$\sin \theta = \frac{2}{3}$のとき、

* $\cos \theta$の計算

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$なので、

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\cos \theta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

* $\tan \theta$の計算

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

(1)

* $\sin B = \frac{5\sqrt{89}}{89}$

* $\cos B = \frac{8\sqrt{89}}{89}$

* $\tan B = \frac{5}{8}$

* $AB = \sqrt{89}$

(2)

* $\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$

* $\tan \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$