画像に写っている数学の問題を解きます。具体的には、三角関数の値を求める問題、正弦定理を用いる問題、余弦定理を用いる問題、三角形の面積を求める問題があります。

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題を解きます。具体的には、三角関数の値を求める問題、正弦定理を用いる問題、余弦定理を用いる問題、三角形の面積を求める問題があります。

2. 解き方の手順

(1) $0^\circ < \theta < 90^\circ$ のとき、$\cos(90^\circ - \theta)$ を求めます。

$\cos(90^\circ - \theta) = \sin \theta$

(2) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\tan(180^\circ - \theta)$ を求めます。

$\tan(180^\circ - \theta) = - \tan \theta$

(3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ において、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の値を全て求めます。

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは $\theta = 60^\circ$ または $\theta = 120^\circ$ です。

(4) $\triangle ABC$ において、$\angle A = 45^\circ$ であり、$\triangle ABC$ の外接円の半径が $\sqrt{5}$ であるとき、$BC$ を求めます。

正弦定理より、$\frac{BC}{\sin A} = 2R$。ここで、$R = \sqrt{5}$。

$BC = 2R \sin A = 2 \sqrt{5} \sin 45^\circ = 2\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{10}$

(5) $\triangle ABC$ において、$AB = 5$, $BC = 3$, $\angle B = 60^\circ$ であるとき、$AC$ を求めます。

余弦定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos B$。

$AC^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cos 60^\circ = 25 + 9 - 30 \cdot \frac{1}{2} = 34 - 15 = 19$

よって、$AC = \sqrt{19}$

(6) $\triangle ABC$ において、$AB = 4$, $AC = 7$, $\angle A = 60^\circ$ であるとき、$\triangle ABC$ の面積を求めます。

$\triangle ABC$ の面積 $S$ は $S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \sin A$。

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 \cdot \sin 60^\circ = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta$

(2) $-\tan \theta$

(3) $60^\circ, 120^\circ$

(4) $\sqrt{10}$

(5) $\sqrt{19}$

(6) $7\sqrt{3}$