3点 A, B, O は同一水平面上にあり、AB の長さは 1000m である。A における山頂 C を見上げる仰角 $\angle OAC$ が $60^{\circ}$, A から B と C を見込む角 $\angle BAC$ が $75^{\circ}$, B から A と C を見込む角 $\angle ABC$ が $45^{\circ}$ のとき、A, B, O を通る水平面から山頂 C までの高さ OC は何 m か。ただし、$\sqrt{2} = 1.41$ とする。

1. 問題の内容

3点 A, B, O は同一水平面上にあり、AB の長さは 1000m である。A における山頂 C を見上げる仰角 $\angle OAC$ が $60^{\circ}$, A から B と C を見込む角 $\angle BAC$ が $75^{\circ}$, B から A と C を見込む角 $\angle ABC$ が $45^{\circ}$ のとき、A, B, O を通る水平面から山頂 C までの高さ OC は何 m か。ただし、$\sqrt{2} = 1.41$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABC$ において、$\angle ACB$ を求める。三角形の内角の和は $180^{\circ}$ であるから、

$\angle ACB = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ABC = 180^{\circ} - 75^{\circ} - 45^{\circ} = 60^{\circ}$

次に、$\triangle ABC$ において正弦定理を用いる。

$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = \frac{AC}{\sin \angle ABC}$

$\frac{1000}{\sin 60^{\circ}} = \frac{AC}{\sin 45^{\circ}}$

$AC = \frac{1000 \sin 45^{\circ}}{\sin 60^{\circ}} = \frac{1000 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1000\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1000\sqrt{6}}{3}$

$\triangle OAC$ は直角三角形であるから、

$OC = AC \tan \angle OAC = AC \tan 60^{\circ} = AC \cdot \sqrt{3}$

$OC = \frac{1000\sqrt{6}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{1000\sqrt{18}}{3} = \frac{1000 \cdot 3\sqrt{2}}{3} = 1000\sqrt{2}$

$\sqrt{2} = 1.41$ であるから

$OC = 1000 \cdot 1.41 = 1410$

3. 最終的な答え

1410 m