球面の方程式を求める問題です。 (1) 直径の両端の座標が与えられたとき、球面の方程式を求める。 (2) 球面が通る点の座標と、3つの座標平面に接するという条件から、球面の方程式を求める。

1. 問題の内容

球面の方程式を求める問題です。

(1) 直径の両端の座標が与えられたとき、球面の方程式を求める。

(2) 球面が通る点の座標と、3つの座標平面に接するという条件から、球面の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

直径の両端が点A(1, -4, 3), B(3, 0, 1)であるとき、球の中心は線分ABの中点であり、球の半径は線分ABの長さの半分である。

中心の座標は

$((1+3)/2, (-4+0)/2, (3+1)/2) = (2, -2, 2)$

半径は

$\sqrt{(3-1)^2 + (0-(-4))^2 + (1-3)^2} / 2 = \sqrt{4+16+4}/2 = \sqrt{24}/2 = \sqrt{6}$

したがって、球面の方程式は

$(x-2)^2 + (y+2)^2 + (z-2)^2 = 6$

(2)

球面が3つの座標平面に接するので、中心の座標は$(r, -r, r)$または$(r, -r, -r)$などの形になり、半径は$|r|$となる。

球面の方程式は

$(x-r)^2 + (y+r)^2 + (z-r)^2 = r^2$ （$x, y, z > 0$の場合を仮定）

点(1, -2, 5)を通るので、

$(1-r)^2 + (-2+r)^2 + (5-r)^2 = r^2$

$1 - 2r + r^2 + 4 - 4r + r^2 + 25 - 10r + r^2 = r^2$

$2r^2 - 16r + 30 = 0$

$r^2 - 8r + 15 = 0$

$(r-3)(r-5) = 0$

$r=3, 5$

したがって、球面の方程式は

$(x-3)^2 + (y+3)^2 + (z-3)^2 = 9$

$(x-5)^2 + (y+5)^2 + (z-5)^2 = 25$

3. 最終的な答え

(1) $(x-2)^2 + (y+2)^2 + (z-2)^2 = 6$

(2) $(x-3)^2 + (y+3)^2 + (z-3)^2 = 9$, $(x-5)^2 + (y+5)^2 + (z-5)^2 = 25$

中心のy座標が負であることから、$r$は正の値を取ることがわかる。また、中心の$x,z$座標は正の値をとる必要があるので、それらの符号も考慮する。符号の組み合わせは複数考えられるが、ここでは場合分けは省略した。