正九角形の3つの頂点を結んで三角形を作る問題です。 (1) 正九角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求めます。 (2) 正九角形と辺を共有しない三角形の個数を求めます。

1. 問題の内容

正九角形の3つの頂点を結んで三角形を作る問題です。

(1) 正九角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求めます。

(2) 正九角形と辺を共有しない三角形の個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 正九角形と1辺だけを共有する三角形の個数

正九角形の1つの辺を選びます。これは9通りあります。

選んだ辺の両端の頂点以外の頂点を選ぶ必要があります。ただし、選んだ辺に隣接する2つの頂点は選べません。

したがって、残りの6個の頂点から1つを選びます。これは6通りあります。

したがって、1辺だけを共有する三角形の数は $9 \times 6 = 54$ 通りあります。

(2) 正九角形と辺を共有しない三角形の個数

まず、正九角形の3つの頂点を選ぶ組み合わせの総数を計算します。これは $\binom{9}{3}$ で計算できます。

$\binom{9}{3} = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

次に、正九角形と1辺を共有する三角形の数を計算します。(1)で計算した通り、54個あります。

さらに、正九角形と2辺を共有する三角形の数を計算します。これは正九角形の隣り合う3つの頂点を選ぶことになり、9通りあります。

したがって、正九角形と辺を共有しない三角形の数は、すべての三角形の数から、1辺を共有する三角形の数と2辺を共有する三角形の数を引いたものになります。

$84 - 54 - 9 = 21$

3. 最終的な答え

(1) 正九角形と1辺だけを共有する三角形は 54 個ある。

(2) 正九角形と辺を共有しない三角形は 21 個ある。