四面体OABCにおいて、$\vec{a} = \overrightarrow{OA}$, $\vec{b} = \overrightarrow{OB}$, $\vec{c} = \overrightarrow{OC}$ とする。 (2) D, E, Fはそれぞれ線分OA, OB, OC上の点で、$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OE} = \frac{2}{3} \overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{OC}$ とする。 3点D, E, Fを含む平面と直線OQの交点をRとするとき、$\overrightarrow{OR}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表せ。ただし、(1)で線分ABを1:2に内分する点をPとし、線分PCを2:3に内分する点をQとした。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、$\vec{a} = \overrightarrow{OA}$, $\vec{b} = \overrightarrow{OB}$, $\vec{c} = \overrightarrow{OC}$ とする。

(2) D, E, Fはそれぞれ線分OA, OB, OC上の点で、$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OE} = \frac{2}{3} \overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{OC}$ とする。

3点D, E, Fを含む平面と直線OQの交点をRとするとき、$\overrightarrow{OR}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表せ。ただし、(1)で線分ABを1:2に内分する点をPとし、線分PCを2:3に内分する点をQとした。

2. 解き方の手順

(1) まず、点Pの位置ベクトル $\overrightarrow{OP}$ を求める。点Pは線分ABを1:2に内分するので、

$\overrightarrow{OP} = \frac{2 \overrightarrow{OA} + 1 \overrightarrow{OB}}{1+2} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

次に、点Qの位置ベクトル $\overrightarrow{OQ}$ を求める。点Qは線分PCを2:3に内分するので、

$\overrightarrow{OQ} = \frac{3 \overrightarrow{OP} + 2 \overrightarrow{OC}}{2+3} = \frac{3(\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}) + 2 \vec{c}}{5} = \frac{2}{5} \vec{a} + \frac{1}{5} \vec{b} + \frac{2}{5} \vec{c}$

(2) 点Rは平面DEF上にあるので、実数 $s, t, u$ を用いて、$s+t+u=1$として、

$\overrightarrow{OR} = s \overrightarrow{OD} + t \overrightarrow{OE} + u \overrightarrow{OF} = s (\frac{1}{2} \vec{a}) + t (\frac{2}{3} \vec{b}) + u (\frac{1}{3} \vec{c})$

$\overrightarrow{OR} = \frac{s}{2} \vec{a} + \frac{2t}{3} \vec{b} + \frac{u}{3} \vec{c}$

と表せる。

一方、点Rは直線OQ上にあるので、実数 $k$ を用いて、

$\overrightarrow{OR} = k \overrightarrow{OQ} = k(\frac{2}{5} \vec{a} + \frac{1}{5} \vec{b} + \frac{2}{5} \vec{c}) = \frac{2k}{5} \vec{a} + \frac{k}{5} \vec{b} + \frac{2k}{5} \vec{c}$

と表せる。

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ は一次独立なので、

$\frac{s}{2} = \frac{2k}{5}$, $\frac{2t}{3} = \frac{k}{5}$, $\frac{u}{3} = \frac{2k}{5}$

したがって、$s = \frac{4k}{5}$, $t = \frac{3k}{10}$, $u = \frac{6k}{5}$

ここで、$s+t+u = 1$ より、$\frac{4k}{5} + \frac{3k}{10} + \frac{6k}{5} = 1$

$\frac{8k + 3k + 12k}{10} = 1$

$\frac{23k}{10} = 1$

$k = \frac{10}{23}$

よって、

$\overrightarrow{OR} = \frac{10}{23} (\frac{2}{5} \vec{a} + \frac{1}{5} \vec{b} + \frac{2}{5} \vec{c}) = \frac{4}{23} \vec{a} + \frac{2}{23} \vec{b} + \frac{4}{23} \vec{c}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OR} = \frac{4}{23} \vec{a} + \frac{2}{23} \vec{b} + \frac{4}{23} \vec{c}$