円に内接する四角形ABCDにおいて、AB = 5, BD = 7, CD = 3, AD = 8である。このとき、四角形ABCDの面積Sを求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB = 5, BD = 7, CD = 3, AD = 8である。このとき、四角形ABCDの面積Sを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABDと三角形BCDについて余弦定理を用いて、$\angle BAD = \theta$とおくと、$\angle BCD = 180^{\circ} - \theta$となることを利用して、$\cos{\theta}$を求めます。

三角形ABDにおいて、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2\cdot AB \cdot AD \cdot \cos{\theta}$

$7^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos{\theta}$

$49 = 25 + 64 - 80 \cos{\theta}$

$80 \cos{\theta} = 40$

$\cos{\theta} = \frac{1}{2}$

したがって、$\theta = 60^{\circ}$

$\angle BCD = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$

三角形BCDにおいて、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos{120^{\circ}}$

$7^2 = BC^2 + 3^2 - 2 \cdot BC \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{2})$

$49 = BC^2 + 9 + 3BC$

$BC^2 + 3BC - 40 = 0$

$(BC + 8)(BC - 5) = 0$

$BC = -8$または$BC = 5$

$BC > 0$より$BC = 5$

四角形ABCDの面積Sは、三角形ABDの面積と三角形BCDの面積の和である。

三角形ABDの面積は

$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin{\theta} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin{60^{\circ}} = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

三角形BCDの面積は

$\frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin{120^{\circ}} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \sin{120^{\circ}} = \frac{15}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

したがって、四角形ABCDの面積Sは

$S = 10\sqrt{3} + \frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{40\sqrt{3} + 15\sqrt{3}}{4} = \frac{55\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{55\sqrt{3}}{4}$