正方形ABCDの辺上を点Pが移動するとき、$\triangle AMP$の面積に関する以下の問題を解きます。 (1) 図5のグラフの式を求める。 (2) 点Pが出発して6秒後の$\triangle AMP$の面積を求める。 (3) 点PがDからBまで移動するときの$x$と$y$の関係を表すグラフを、図5に追加する。 (4) $\triangle AMP$の面積が3cm$^2$以下になるのは、点Pが出発して何秒後から何秒後までかを求める。

1. 問題の内容

正方形ABCDの辺上を点Pが移動するとき、$\triangle AMP$の面積に関する以下の問題を解きます。

(1) 図5のグラフの式を求める。

(2) 点Pが出発して6秒後の$\triangle AMP$の面積を求める。

(3) 点PがDからBまで移動するときの$x$と$y$の関係を表すグラフを、図5に追加する。

(4) $\triangle AMP$の面積が3cm$^2$以下になるのは、点Pが出発して何秒後から何秒後までかを求める。

2. 解き方の手順

(1) 図5のグラフは、点Pが辺CD上にあるときの$x$と$y$の関係を表しています。グラフから、点(0,0)と点(4,4)を通る直線であることがわかります。したがって、このグラフの式は $y = ax$ の形であり、点(4,4)を代入すると、$4 = 4a$ より、$a = 1$。したがって、式は $y = x$ となります。

(2) 点Pが出発してから6秒後の$\triangle AMP$の面積を求めるためには、まず点Pがどの辺上にあるかを考えます。

4秒後には点Dに到達し、その後、辺DA上を移動します。

6秒後なので、点Pは点Dから2秒間移動しています。したがって、点Pは辺DA上にあり、ADを2cm進んだところにあります。

$\triangle AMP$の面積は、$AM$を底辺とすると、高さは点PからAMまでの距離になります。AMの長さは$\sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20}=2\sqrt{5}$です。

点PがAD上にあるとき、点Aからの距離が$4-2=2$cmです。点Mの座標を(4,2)とすると、点Aから点Mまでの距離は$\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}$です。

$\triangle AMP$の面積は、$y = \frac{1}{2} \times AM \times 高さ$で求められます。

AMの長さは変わらず、高さがxによって変わります。

点AからPまでの距離は2cmなので、$AP=2$。AM = $\sqrt{20}$.

MからABまでの距離は2cmなので、$\triangle ABM = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$

$\triangle ADM = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$。

点PがDからAに向かうと、AP = (6-4) = 2。$y = \frac{1}{2} \times AM \times h$.AMは変わらないので、hを求める。点Mは(4,2)で、点Pは(0,2)なので、AMを底辺とすると高さはx座標の差となる。

y = $\frac{1}{2} \times 4 \times x$。点PはDにいるときは(4,4)。点PはAにいるときは(8,0)になるので、傾きは-1。切片は8。y= -x+8。x=6のとき、y= -6+8=2。

(3) 点PがDからBまで移動するとき、AMを底辺とすると高さを求める。点PはAに到達するまで、8秒となる。AMは変わらない。AからBまで4cmなので、ABの間は$y = \frac{1}{2} \times 2 \times (12-x) = -(x-8)= -x + 8$

y= -x+

8.

(4) $\triangle AMP$の面積が3cm$^2$以下になるのは、$y \le 3$のときです。

$y=x$のとき、$x \le 3$。つまり0秒後から3秒後。

$y = -x + 8$のとき、$-x + 8 \le 3$ より、$x \ge 5$。つまり5秒以上。$x \le 12$なので5秒から12秒まで。

したがって、0秒後から3秒後までと、5秒後から12秒後まで。

3. 最終的な答え

(1) $y = x$

(2) 2 cm$^2$

(3) 図5に、$y = -x + 8$ ($8 \le x \le 12$) を書き加える。

(4) 0秒後から3秒後までと、5秒後から12秒後まで